Nombres Naturels et les Axiomes de Peano

Les Nombres Naturels et les Axiomes de Peano

RÉSUMÉ
Cette classe traite des nombres naturels et comment ils sont définis par les axiomes de Peano : une série de principes mathématiques qui établissent leurs propriétés fondamentales. Elle explique également comment les symboles sont utilisés pour représenter les successeurs des nombres naturels, comment ils sont représentés symboliquement et l’utilisation du principe d’induction mathématique pour effectuer des preuves inductives.

OBJECTIFS D’APPRENTISSAGE

Comprendre les axiomes de Peano pour la formulation des nombres naturels.
Comprendre la formulation de la représentation symbolique des nombres naturels.

SOMMAIRE

Les axiomes de Peano pour les nombres naturels
Le principe d’induction en mathématiques
Commentaire sur les démonstrations

Les Axiomes de Peano pour les Nombres Naturels

Les Nombres Naturels, également connus sous le nom de nombres entiers positifs, sont ceux que nous utilisons pour compter et mesurer. Ils apparaissent de la manière la plus naturelle dans l’opération de comptage, qui est la plus simple des arithmétiques. Ces nombres sont définis par les axiomes de Peano, une série de principes mathématiques qui établissent comment ces nombres fonctionnent.

« $1$ » est un nombre naturel
Si $n$ est un naturel, alors son successeur $S(n)$ l’est également.
« $1$ » n’est le successeur d’aucun naturel.
Si $S(n) = S(m)$ , alors $n=m$ .
Si $1$ appartient à un ensemble $A$ ; et si pour un $k$ quelconque dans $A$ , $S(k)$ est aussi dans $A$ , alors $A$ est l’ensemble des naturels et est noté par $\mathbb{N}$ .

En étudiant les axiomes de Peano, nous réalisons que le symbole « $1$ » est en réalité seulement une représentation utilisée pour désigner un nombre naturel spécifique. Ce nombre est celui qui respecte ces propriétés. Tout comme $1$ représente le « premier naturel », nous utilisons également des symboles (qui nous sont familiers) pour représenter ses successeurs.

$2=S(1)$
$3=S(2)$
$4=S(3) \\ \vdots$

et ainsi de suite. Ainsi, les symboles $1$ , $2$ , $3$ , etc… sont des entités abstraites qui représentent les différents successeurs de $1$ . La collection de tous ces objets sont les nombres naturels et nous les représentons par :

$\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots \}$

On dit aussi que les nombres naturels sont disposés dans une séquence, la séquence des nombres naturels :

$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, \cdots$

Le Principe d’Induction pour les Nombres Naturels

Un aspect important des nombres naturels est qu’il y a toujours un nombre après chaque nombre, ce qui signifie qu’il existe une infinité de naturels. Nous pouvons le déduire du cinquième axiome, ou principe d’induction, qui s’exprime comme suit :

Si une propriété est vérifiée pour $1$ ; et si, en supposant qu’elle est vérifiée pour un certain nombre naturel $k$ , elle est également vérifiée pour le suivant $S(k)$ ; alors cette propriété est vérifiée pour tous les nombres naturels.

Le principe d’induction offre non seulement une base fondamentale pour les nombres naturels, mais est également un outil utile pour démontrer si une propriété est vraie pour les nombres naturels. Pour examiner cela, regardons un exemple simple :

EXEMPLE :Grâce au principe d’induction, on peut démontrer que chaque nombre naturel est différent de son successeur.

Bien que cela semble évident, cela aide à comprendre comment procéder lorsqu’on démontre par induction.

Démonstration :

Il est clair que $1$ est différent de $S(1)=2$ . Ceci est la étape initiale, où nous vérifions que la propriété est vraie pour le premier élément.
Supposons que la propriété est vraie pour un $k$ quelconque, c’est-à-dire que $k\neq S(k)$ , nous allons alors prouver que cela signifie également que cela est vrai pour $S(k)$ (c’est-à-dire que $S(k)\neq S(S(k))$ ). Ceci est l’étape inductive. Si ces deux étapes sont complétées, alors on dit que l’induction est complète et que la propriété est vraie pour tous les nombres naturels.
[1] Pour commencer, notons que $S(k) \neq k,$ équivaut à dire que $\neg [k=S(k)]$ .
[2] Mais comme $k$ et $S(k)$ sont tous deux des nombres naturels, selon l’axiome 2, nous pouvons dire qu’ils ont tous les deux des successeurs: $S(k)$ et $S(S(k))$ , respectivement. Les deux sont également des nombres naturels.
[3] Par conséquent, en utilisant l’axiome 4, nous pouvons dire que : $S(k) = S(S(k))$ implique que $k = S(k)$ . Cela peut être écrit de la manière suivante :
$\left[ S(k) = S(S(k)) \right] \rightarrow \left[k = S(k)\right]$
ce qui, par le contraposé de l’implication, équivaut à dire que :
$\neg \left[k = S(k)\right] \rightarrow \neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
[4] Enfin, en effectuant un modus ponens entre cette dernière expression et celle obtenue à l’étape [1], nous obtenons :
$\neg \left[ S(k) = S(S(k)) \right]$
ce qui est équivalent à dire
$S(k) \neq S(S(k))$
Par conséquent, nous avons démontré que si $S(k) \neq k,$ est vérifié, alors $S(k) \neq S(S(k))$ est également vérifié. Comme il est également évident que $1\neq 2$ , l’induction est complète et nous pouvons affirmer que :
$\left(\forall n\in\mathbb{N}\right)\left(n \neq S(n)\right)$

Commentaire sur les démonstrations

logique mathématique.

Les Nombres Naturels et les Axiomes de Peano

Les Axiomes de Peano pour les Nombres Naturels

Le Principe d’Induction pour les Nombres Naturels

Commentaire sur les démonstrations

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