Idées préalables pour l’obtention de l’équation des paraboles

Notion géométrique des paraboles

Une parabole est une courbe obtenue comme la collection de tous les points équidistants d’un point fixe, appelé foyer, et d’une droite fixe appelée directrice. Pour comprendre cette définition et la transformer en une expression algébrique que nous pouvons manipuler, l’équation des paraboles, il est nécessaire de revoir quelques concepts préalables.

Distance entre deux points du plan cartésien

Considérons deux points p_1 = (x_1, y_1) et p_2 = (x_2, y_2). La distance entre ces points est la longueur du segment de droite qui les relie.

Cette distance peut être mesurée à l’aide du théorème de Pythagore comme illustré ci-dessous.

La distance d entre les deux points est donc :

d= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Translation des graphiques

Considérons une fonction y(x) = x^2. Si nous traçons cela, nous obtenons quelque chose de similaire à ce qui est montré dans la figure ci-dessous.

Si dans cette fonction nous remplaçons x par x-1 et y par y-1, alors nous observerons la transformation suivante dans le graphique :

En général, chaque remplacement de ce type produit une transformation par translation, à savoir :

• x\longmapsto x-a : si a est positif, il se déplace de a unités vers la droite, et s’il est négatif, il se déplace vers la gauche.
• y\longmapsto y-b : si b est positif, il se déplace de b unités vers le haut, et s’il est négatif, il se déplace vers le bas.

Ce sont les transformations de translation, et leur effet général est résumé dans la figure suivante :

Définition de la Parabole

Une parabole est l’ensemble de tous les points qui sont équidistants d’un point fixe et d’une droite fixe.

Le point fixe est appelé foyer, et la ligne fixe est appelée directrice. Si l’on y prête attention, on verra que la notion de distance est essentielle pour définir les paraboles, et pour approfondir cette analyse, il est nécessaire de réviser comment les distances sont mesurées dans le plan cartésien et comment cela peut être exprimé algébriquement.

Dérivation de l’Équation Fondamentale des Paraboles

Pour simplifier, considérons le point focal p_f= (0,f) et la directrice comme la ligne L d’équation y=-p.

Si nous prenons un point quelconque de la parabole avec les coordonnées (x,y), il sera équidistant à la fois du foyer et de la directrice. Cela peut être décrit algébriquement de la manière suivante :

Distance Foyer-Point(x,y) = \sqrt{x^2 + (f-y)^2}= y+f = Distance Point(x,y)-Directrice

À partir de là, le raisonnement suivant se développe :

Ce dernier résultat est ce que nous appelons l’Équation Fondamentale des Paraboles.

Si l’on prête attention à cette parabole, on remarquera qu’il existe un point ayant la propriété d’être le plus proche du foyer (ou, de manière équivalente, de la directrice). Ce point est appelé sommets et, dans ce cas particulier, il a pour coordonnées (0,0) ; la distance entre le foyer et le sommet est appelée distance focale, et sa valeur f peut être n’importe quel nombre réel sauf zéro.

Lorsque f\gt 0, la parabole s’ouvre vers le haut, et lorsque f\lt 0, elle s’ouvre vers le bas. À mesure que f\to 0, la parabole s’aplatit tout en maintenant le sommet en place, et la directrice se rapproche du sommet. On observera alors que la parabole et la directrice semblent fusionner en une seule ligne ; lorsque f devient nul, le graphique disparaît, car les divisions par zéro n’existent pas.

L’Équation Générale des Paraboles

À partir de l’équation fondamentale des paraboles et de la translation des graphiques, on obtient, en remplaçant x\longmapsto (x-h) et y\longmapsto (y-k),, l’Équation Générale des Paraboles avec un sommet en (h,k).

(y-k) = \dfrac{(x-h)^2}{4f}

Équation Canonique des Paraboles et les Polynômes du Second Degré

Si nous développons l’équation générale des paraboles, nous obtiendrons le raisonnement suivant :

Si dans cette équation nous faisons la substitution a=\dfrac{1}{4f}, b=-\dfrac{2h}{4f} et c=\dfrac{h^2 + 4fk}{4f},, alors l’équation générale des paraboles se transforme en équation canonique, qui se trouve être exactement le polynôme du second degré.

\boxed{y=ax^2 + bx + c}