Reflexión en espejos planos y esféricos

Resumen:
En esta clase revisaremos los principios básicos de la óptica geométrica, centrándose en la reflexión en espejos planos y esféricos. Define términos clave como rayo de luz, objeto puntual e imagen puntual. Además, aborda la regla de signos para espejos y la relación de Descartes para calcular la posición de imágenes. También se exploran las características de espejos cóncavos y convexos, y cómo afectan la formación de imágenes reales y virtuales. Por último, se introduce el coeficiente de aumento para describir el cambio en el tamaño y orientación de la imagen respecto al objeto original.

Objetivos de Aprendizaje
Al finalizar la clase, el estudiante será capaz de

1. Comprender la óptica geométrica como una simplificación de la óptica electromagnética que facilita la comprensión de la formación de imágenes mediante el uso de geometría y cálculo.
2. Entender las leyes de reflexión y refracción y su aplicación en la formación de imágenes con espejos y lentes.
3. Comprender y diferenciar conceptos clave como rayo de luz, rayo proyectado, objeto puntual, y imagen puntual.
4. Aplicar la regla de signos para espejos para determinar la posición de objetos e imágenes.
5. Analizar la formación de imágenes en espejos planos, destacando la simetría y la naturaleza virtual de las imágenes.

Índice de Contenidos
Ideas básicas en la Óptica Geométrica
Definiciones
Regla de signos para espejos
Espejos planos y reflexión especular
Objeto puntual frente a un espejo plano
Objeto extendido frente a un espejo plano
Reflexión en Espejos esfércos
Relación entre la posición del objeto y la imagen en un espejo esférico
Caso límite cuando s\to +\infty
Reflexión de objetos extendidos en espejos esféricos
Espejos cóncavos y convexos
El coeficiente de aumento y su interpretación

Ideas básicas en la Óptica Geométrica

La óptica geométrica es una simplificación de la óptica electromagnética que permite entender con facilidad la formación de imágenes y sus características. A través de la Geometría y el Cálculo, es posible inferir las leyes de refracción y reflexión que permiten comprender la formación de imágenes con espejos y lentes. En esta primera entrega estudiaremos los conceptos básicos de la óptica geométrica y la reflexión en espejos planos y esféricos.

Para comenzar a abordar estas ideas y realizar inferencias es que definiremos algunos conceptos clave:

Definiciones

Rayo de Luz	Es la línea imaginaria que representa la trayectoria de propagación de la luz. Si la fuente es un objeto puntual, entonces la luz emerge de ella en forma de ondas (electromagnéticas) esféricas; los rayos de luz tienen en consecuencia, la dirección del flujo de energía o, si se prefiere, la dirección del vector de Poynting.
Rayo proyectado	Linea imaginaria que representa la extensión de un rayo de luz.
Objeto puntual o Fuente puntual	Punto del espacio de donde proceden rayos de luz, sea propia o reflejada. El objeto puede ser puntual o extendido; si es puntual, entonces no tiene forma, solo posición; si es extendido, entonces tiene un volumen finito no nulo y una superficie que lo rodea.
Imagen puntual	Lugar del espacio donde convergen los rayos de luz o los rayos proyectados.
Reflexión	Proceso en que los rayos de luz cambian de dirección al incidir sobre una superficie reflectante.
Refracción	Proceso en que los rayos de luz cambian de dirección y velocidad al pasar de un medio a otro.

Regla de signos para espejos

Un concepto útil para sistematizar de la óptica geométrica es la regla de los signos que se introduce a continuación:.

• Posición del objeto: Si el objeto se encuentra del lado que llega la luz a la superficie reflectante, entonces la magnitud asociada a su posición s es un número positivo, y negativa en otro caso.
• Posición de la imagen: Si la imagen está del mismo lado que sale la luz de la superficie reflectante, la magnitud asociada a su posición s^\prime será positiva, y negativa en otro caso.

En un espejo plano siempre se cumple la ecuación s=-s^\prime.

Espejos planos y reflexión especular

El tipo mas simple de superficie reflectora es el espejo plano. En estos se observa que todo rayo que incide con un ángulo \theta respecto a la normal del espejo es reflejado con un ángulo \theta^\prime =\theta. Debido a esto, un observador que vea el rayo reflejado verá como si el objeto reflejado estuviese detrás del espejo.

Objeto puntual frente a un espejo plano

La imagen formada en un espejo plano es simétrica y virtual. Simétrica significa que la distancia entre el objeto y el espejo es la misma que hay entre la imagen y el espejo, y virtual significa que la imagen está «detrás del espejo».

Objeto extendido frente a un espejo plano

Si un observador ignorase la existencia del objeto extendido y del espejo, al recibir los rayos reflejados los interpretaría como si saliesen de la imagen, como si la imagen fuese un objeto real.

Reflexión en Espejos esfércos

Relación entre la posición del objeto y la imagen en un espejo esférico

Consideremos un espejo esférico con un radio de curvatura r. Si colocamos un objeto a una distancia s del vertice, entonces aparecerá una imagen en el punto s^\prime, como se muestra en la figura:

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es \pi[rad], se tiene que:

\begin{array}{lr} \phi + \theta + \pi - \beta =\pi\; &\Longrightarrow {\beta = \phi + \theta}\\ \\ \alpha + \theta + \pi - \phi =\pi\; &\Longrightarrow {\theta = \phi - \alpha} \end{array}

A partir de esto se infiere que \beta = 2\phi - \alpha y, por lo tanto

\color{blue}{\alpha + \beta = 2\phi}.

Con esta información es posible inferir una relación entre las posiciones s y s^\prime del objeto y la imagen, respectivamente. Para esto observamos que:

\begin{array}{rl} \tan(\alpha) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \\ \\ \tan(\beta) &\displaystyle = \frac{h}{s^\prime - \delta} \\ \\ \tan(\phi) &\displaystyle = \frac{h}{r - \delta} \end{array}

Ahora si el objeto está lo suficientemente lejos del espejo, o el radio de curvatura es lo suficientemente grande, es posible asumir que los ángulos \alpha, \beta y \phi son cercanos a cero y, bajo ese contexto son válidas las aproximaciones:

\begin{array}{rl} \delta & \approx 0 \\ \\ \alpha &\displaystyle \approx \tan(\alpha) \approx \frac{h}{s} \\ \\ \beta &\displaystyle \approx \tan(\beta) \approx \frac{h}{s^\prime} \\ \\ \phi &\displaystyle \approx \tan(\phi) \approx \frac{h}{r} \end{array}

Utilizando estas aproximaciones sobre la ecuación destacada en verde obtenemos:

\displaystyle \frac{h}{s}+\frac{h}{s^\prime}\approx\frac{2h}{r}

Finalmente, simplificando las h y remplazando \displaystyle f = \frac{r}{2} se tiene que

\displaystyle\color{blue}{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}\approx\frac{1}{f}}

Esto es lo que se llama «relación de Descartes» para los espejos esféricos de poca apertura, donde el valor f corresponde con el foco del lente.

Caso límite cuando s\to+\infty

Si calculamos el valor de s^\prime y calculamos límite cuando s\to+\infty, entonces se tendrá:

\displaystyle s^\prime = \frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{s}} =\frac{sf}{s-f}

\displaystyle\lim_{s\to +\infty}s^\prime = \lim_{s\to +\infty}\frac{sf}{s-f}=f

En otras palabras, si colocamos la fuente muy lejos, entonces el rayo que sale de ella y llega al espejo seguirá una trayectoria prácticamente horizontal y, al reflejarse en el espejo, pasará por el foco como se muestra e la figura:

Reflexión de objetos extendidos en espejos esféricos

Los resultados que hemos revisado hasta ahora nos permitirán encontrar geométricamente el lugar en que se formará la imagen de un objeto cuando la luz que éste emite o refleja se refleja en un espejo esférico. Para esto basta con notar que todos los rayos horizontales se reflejan pasando por el foco, que todos los rayos que pasan por el foco se reflejan horizontalmente y que localmente (en el punto en que el rayo choca con el espejo esférico) el espejo se comporta como un espejo plano, por lo que el ángulo de incidencia será igual al reflejado.

Cada punto del objeto extendido emite rayos de luz que, luego de ser reflejado por el espejo, se intersecan en el punto correspondiente de la imagen.

Espejos cóncavos y convexos

Los espejos esféricos que hemos revisado hasta ahora son todos ejemplos de espejos cóncavos. Estos son aquellos en que la curvatura está del lado del que provienen los rayos de luz. En el caso en que la curvatura está orientada hacia el lado opuesto, se dice que el espejo es convexo. Cuando se analiza geométricamente la formación de imágenes en este tipo de espejos, lo primero que se nota es que los rayos reflejados, en lugar de converger en un punto, se dispersan; para encontrar el lugar donde se forma la imagen es necesario, en consecuencia, proyectar los rayos reflejados obteniendo así una imagen virtual.

En este punto debemos tener en cuenta los siguientes términos:

• Imagen real: es cuando la imagen es formada por los rayos reflejados, y por lo tanto está en frente del espejo.
• Imagen virtual: es cuando la imagen es formada por los rayos proyectados, y por lo tanto «está detrás del espejo».

El coeficiente de aumento y su interpretación

Como hemos podido ver en las figuras anteriores, cuando hay reflexión en espejos esférico, cóncavo o convexo, la imagen puede cambiar de tamaño u orientación en relación al objeto original. Entonces surge la pregunta ¿Existirá una forma de modelar este aumento o disminución y cambio de orientación de la imagen? La respuesta es que si y infiere a partir de relaciones de semejanza de triángulos en cualquiera de las figuras que ya hemos revisado. A continuación se mostrará el análisis para un espejo cóncavo, para los espejos convexos el razonamiento es análogo. Para seguir adecuadamente cada paso recuerde tener en mente las reglas de signos para espejos que vimos al inicio.

Como los triángulos azul y verde son semejantes, entonces se tiene que el coeficiente de aumento m=y^\prime/y que nos dice cuánto aumenta la imagen reflejada en relación al tamaño del objeto original, se puede calcular a través de la relación:

\displaystyle \frac{y}{s} = \frac{-y^\prime}{s^\prime}

Aquí el y^\prime va acomáñado de un signo menos porque la imagen está orientada hacia abajo (está invertida), y por la regla de signos para espejos, s y s^\prime son ambos positivos. En consecuencia se tendrá que:

\displaystyle \color{blue}{m=\frac{y^\prime}{y} = - \frac{s^\prime}{s}}

Es decir, conociendo las posiciones del objeto y la imagen es posible calcular el coeficiente de aumento del espejo.

Esta fórmula se puede componer con la relación de Descartes para calcular el coeficiente de aumento a partir del foco y la posición del objeto. Basta con recordar que

\displaystyle s^\prime=\frac{sf}{s-f}.

y se tendrá:

\displaystyle \color{blue}{m= - \frac{1}{s}\frac{sf}{s-f} = \frac{f}{f-s}}

A partir de esto se tiene que:

• Si |m|\lt 1, la imagen se contrae; cuando |m|\gt 1, la imagen se expande; y cuando |m|=1, preserva su tamaño.
• Si m\gt 0, la imagen mantiene la orientación del objeto original; y cuando m\lt 0, la imagen se invierte respecto al objeto original.
• La imagen se reduce a un punto cuando m=0.