Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Zusammenfassung
Diese Vorlesung bietet einen tiefgehenden Einblick in die Konzepte der Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die grundlegende Säulen der Wahrscheinlichkeitstheorie und der statistischen Analyse darstellen. Es wird die Definition einer Zufallsvariablen als eine Zahl eingeführt, die vom Ergebnis eines zufälligen Experiments abhängt. Die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen wird behandelt, wobei ihre Bedeutung sowie ihre wesentlichen Eigenschaften hervorgehoben werden. Schließlich wird die Beziehung zwischen Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen analysiert und erklärt, dass zwei Variablen dieselbe Verteilung haben können, ohne dieselbe Zufallsvariable zu sein.
LERNZIELE:
Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:
- Das Konzept der Zufallsvariablen zu verstehen: Die Studierenden sollen in der Lage sein, zu beschreiben und zu erklären, was Zufallsvariablen sind und wie sie mathematisch definiert werden.
- Das Konzept der Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu verstehen: Die Studierenden sollen erklären können, was Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind und wie sie dargestellt werden.
- Die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu beschreiben: Die Studierenden sollen die Schlüsselfaktoren von Wahrscheinlichkeitsverteilungen erkennen und erklären können.
- Die Beziehung zwischen Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu analysieren: Die Studierenden sollen diskutieren können, wie Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen miteinander verbunden sind und wie zwei Variablen dieselbe Verteilung haben können, ohne dieselbe Zufallsvariable zu sein.
- Die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen in praktischen Situationen zu demonstrieren und anzuwenden: Die Studierenden sollen in der Lage sein, die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen mathematisch nachzuweisen und diese Eigenschaften in realen Situationen anzuwenden.
- Das Konzept von Verteilungsfunktionen zu verstehen: Die Studierenden sollen beschreiben können, was eine Verteilungsfunktion ist und wie sie zur Beschreibung einer Zufallsvariablen verwendet wird.
INHALTSVERZEICHNIS:
Was sind Zufallsvariablen?
Was sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen?
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Beziehung zwischen Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Eines der Schlüsselkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie und der statistischen Analyse sind die Zufallsvariablen und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Obwohl die Theorie, die wir bisher entwickelt haben, in gewissem Sinne „vollständig“ ist, ist sie im aktuellen Zustand ziemlich rudimentär; die Zufallsvariablen und die Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind, sozusagen, Konzepte, die es uns ermöglichen, „unsere Fähigkeit zum Arbeiten mit Wahrscheinlichkeiten und zur Durchführung statistischer Analysen zu verbessern“.
Was sind Zufallsvariablen?
Um uns mit dem Konzept der Zufallsvariablen vertraut zu machen, ist es nützlich, mit einem intuitiven Ansatz zu beginnen: Man kann eine Zufallsvariable als „eine Zahl interpretieren, die vom Ergebnis eines zufälligen Experiments abhängt“. Für ein präziseres Verständnis ist es jedoch unerlässlich, auch ihre formale Definition zu betrachten. Sehen wir uns diese Definition an:
Definition: Eine Zufallsvariable über einer Menge \mathcal{X} ist eine Funktion f:\Omega \longmapsto \mathcal{X} |
Der häufigste Fall ist, wenn \mathcal{X}= \mathbb{R}, und, sofern nicht anders angegeben, werden wir dies von nun an annehmen; das heißt, wir arbeiten mit Zufallsvariablen mit reellen Werten. Im Allgemeinen werden Zufallsvariablen mit Großbuchstaben wie X,Y,Z, \cdots, bezeichnet, während Konstanten mit Kleinbuchstaben dargestellt werden. Zur Vereinfachung werden wir uns auf Zufallsvariablen einfach als „Variablen“ beziehen.
Beispiel: Angenommen, ein sechsseitiger Würfel wird zweimal geworfen. Dann gilt: \Omega_{2d6} = \{(\omega_1, \omega_2)\;|\; \omega_1,\omega_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}\} Daraus können wir die folgenden Zufallsvariablen definieren:
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Was sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen?
Definition: Eine Verteilungsfunktion (oder „VF“) einer Zufallsvariablen X ist eine Funktion F_X: \mathbb{R} \longmapsto \mathbb{R}, definiert durch die Beziehung F_X(x) = P(\{\omega \;|\; X(\omega)\leq x\}), oder in kürzerer Form: P(X\leq x). |
Im Allgemeinen interessiert an einer Zufallsvariablen weniger ihr expliziter Ausdruck in einem Stichprobenraum \Omega, sondern vielmehr ihre Verteilungsfunktion. Der Index X in F_X kann weggelassen werden, wenn der Kontext klar ist und keine Mehrdeutigkeit besteht. Es ist üblich, die Notation X\sim F zu verwenden, um anzugeben, dass die Zufallsvariable X eine Verteilungsfunktion F besitzt.
Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wenn F eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist und a,b beliebige reelle Zahlen sind, dann gelten die folgenden Eigenschaften:
(a) a\lt b \longrightarrow [P(a\lt X \leq b) = F(b) - F(a)]
(b) a\lt b \longrightarrow F(a) \leq F(b), das heißt, „F ist monoton steigend“.
(c) \displaystyle\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 und \displaystyle\lim_{x\to -\infty} F(x) = 0
(d) \displaystyle P(X=x)=\lim_{t\to x^+}F(t) - \lim_{t\to x^-}F(t)
(e) \displaystyle F(x)=\lim_{t\to x^+}F(t)
| BEWEIS (a) Seien A und B die Ereignisse \{X\leq a\} und \{X\leq b\} mit a\lt b. Falls dies zutrifft, dann gilt A\subseteq B und daher folgt \color{blue}{P(a\lt X\leq b)} = P(B\setminus A) = P(B) - P(B\cap A) = P(B)-P(A) =\color{blue}{F(b) - F(a)} (b) Aus Teil (a) ergibt sich: Da P(B\setminus A)\geq 0, gilt, folgt: F(b) - F(a) \geq 0 was dasselbe ist wie zu sagen F(a) \leq F(b) (c) Hier verwenden wir die Tatsache, dass F monoton steigend ist (in (b) bewiesen) und nach oben durch „1“ beschränkt ist (weil die Verteilung in Begriffen der Wahrscheinlichkeit definiert ist). Allein dies reicht aus, um zu sagen, dass \displaystyle \lim_{x\to +\infty} F(x) = 1 Ein ergänzender Ansatz hierzu erlaubt uns, die folgenden Rechnungen mit identischem Ergebnis durchzuführen. Definieren wir die Menge A_n=\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}. Daraus ist leicht zu verifizieren, dass für jedes n gilt A_{n}\subseteq A_{n+1}, \displaystyle\bigcup_{n\lt +\infty} A_n = \Omega und daher, unter Verwendung der Eigenschaft der Stetigkeit, gilt: \displaystyle 1=P(\Omega) = P\left( \bigcup_{n\lt +\infty} A_n \right) = \lim_{n\to +\infty} P(A_n) = \lim_{n\to +\infty} P(\{\omega\;|\;X(\omega)\leq n\}) = \lim_{n\to +\infty} P(X\leq n)=\lim_{n\to +\infty}F(n) Das heißt: \displaystyle \color{blue}{\lim_{x\to +\infty} F(x) = 1} Im Gegensatz dazu gilt für den Grenzwert, wenn x\to -\infty: Definieren wir zunächst die Menge B_n=\{\omega\;|\;-n\lt X(\omega)\}. Daraus ergibt sich: \displaystyle \lim_{n \to -\infty}F(n) = \lim_{n\to -\infty} P(X\leq n) = \lim_{n\to \infty} P(X\leq -n)= 1 - \lim_{n\to \infty} P(-n \lt X) = 1 - \lim_{n\to \infty}P(B_n)) = 1 - P(\Omega) = 1-1=0 (d) Das Argument verläuft ähnlich wie in Teil (c). Wir beginnen mit der Definition der Menge \displaystyle C_n = \left\{x - \frac{1}{n} \leq X \leq x + \frac{1}{n}\right\} Und daraus ergibt sich C_{n+1}\subseteq C_n \displaystyle \bigcap_{n\gt 0} C_n = \{X=x\} Daher gilt unter Verwendung eines Resultats der Stetigkeitseigenschaft: \displaystyle P(X=x)=P\left(\bigcap_{n\gt 0} C_n \right) = \lim_{n\to \infty} P(C_n) = \lim_{x+1/n \to x^+}F\left(x+1/n\right) - \lim_{x-1/n \to x^-}F\left(x-1/n\right)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) (e) Dieser letzte Fall ergibt sich aus dem vorherigen Ergebnis. Tatsächlich, da wir bereits gezeigt haben: \displaystyle P(X=x)= \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) - \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) können wir schreiben \displaystyle \lim_{t \to x^+}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t \to x^-}F\left(t\right) = P(X=x) + \lim_{t\to x^-}P(X\leq t)= P(X\leq x) = F(x) |
Beziehung zwischen Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Es heißt, dass zwei Variablen X und Y dieselbe Wahrscheinlichkeitsverteilung haben, wenn (\forall A\subseteq \mathbb{R})(P(X\in A) = P(Y\in A)).
Zwei Variablen X und Y, die auf demselben Stichprobenraum \Omega definiert sind, können dieselbe Verteilung haben, sind aber deshalb nicht notwendigerweise dieselbe Zufallsvariable. Zum Beispiel, wenn wir das Experiment betrachten, eine faire Münze mit zwei Seiten zu werfen, und X=1 für Kopf und X=0 für Zahl steht, kann die Zufallsvariable Y=1-X definiert werden, und es gilt P(X=1) = P(Y=1)=0.5, sodass beide dieselbe Verteilung haben. Wenn man jedoch die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass beide denselben Wert haben, ergibt sich P(X=Y)=0