Obwohl die Operationen mit natürlichen Zahlen bekannt sind, ist es notwendig, dieses Wissen in etwas „mathematischeren“ Formen zusammenzufassen. Aus diesem Grund werden wir einen Überblick über die Addition, Multiplikation und Potenzierung natürlicher Zahlen und deren Eigenschaften geben.

Der Ursprung der Grundoperationen der natürlichen Zahlen

Additionsoperation

Den Keim der Additionsoperation haben wir in der Stunde über Die natürlichen Zahlen und die Peano-Axiome, behandelt, denn der Nachfolger einer natürlichen Zahl kann auch so dargestellt werden:

S(n) = n+1

Wie wir sagten, dass 2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \cdots und so weiter, können wir die Addition als aufeinanderfolgende Anwendung der Nachfolgeroperation interpretieren.

n+1 =S(n),

n+2 =S(S(n)),

n+3 =S(S(S(n))),

\vdots

Und im Allgemeinen:

n+m = \underbrace{S(S(\cdots S(}_{m\;veces} n)\cdots))

Eigenschaften der Addition

Wenn a,b,c\in\mathbb{N}, dann können wir daraus die uns allen bekannten Eigenschaften der Addition gewinnen:

All diese Eigenschaften können durch Induktion bewiesen werden, aber wir werden diese Arbeit überspringen. Dennoch ermutige ich dich, dies als Übung der Induktionstechnik zu versuchen.

Multiplikationsoperation

Ebenso wird das Produkt natürlicherZahlen als wiederholte Anwendung der Addition definiert. Daher haben wir

n\cdot m = \underbrace{n+ n+ \cdots + n}_{m\;veces}

Eigenschaften des Produkts

Und analog dazu können seine Eigenschaften abgeleitet werden

Und außerdem erhält die „1“ der natürlichen Zahlen aus der Definition des Produkts die Eigenschaft, die sie zu einer Einheit macht:

Kombination von Summe und Produkt

Wenn die Operationen Addition und Multiplikation kombiniert werden, erhält man das Distributivgesetz der Addition bezüglich der Multiplikation

Die durch die Operationen der natürlichen Zahlen induzierte Ordnung

Aus den zuvor betrachteten Additions- und Multiplikationsoperationen wird auf den natürlichen Zahlen eine Ordnungsrelation induziert durch die folgenden Definitionen:

Eigenschaften der Ordnung auf den natürlichen Zahlen

Trichotomiegesetz

Daraus folgt, dass nur eine und nur eine der folgenden drei Situationen eintreten kann:

1. a\lt b
2. a = b
3. a\gt b

Wenn zum Beispiel a nicht kleiner als b ist, dann muss eines von zwei Dingen zutreffen: entweder a=b oder a\gt b, das heißt größer oder gleich, und das schreibt man a\geq b.. Analog schreibt man a\leq b., wenn es kleiner oder gleich ist.

Transitivitätseigenschaft

Wenn a,b und c beliebige natürliche Zahlen sind, gilt:

[(a\lt b) \wedge (b\lt c)] \rightarrow (a\lt c)

Und analog:

[(a\gt b) \wedge (b\gt c)] \rightarrow (a\gt c)

Monotonieeigenschaft

Es gibt eine Monotonieeigenschaft sowohl für die Addition als auch für die Multiplikation, diese lautet:

Inverse Operationen: Subtraktion und Division natürlicher Zahlen

Subtraktion natürlicher Zahlen

Wenn a,b,c\in\mathbb{N}, sagen wir, dass die Differenz zwischen a und b (in dieser Reihenfolge), geschrieben a-b, durch die Beziehung definiert wird

a-b=c \leftrightarrow a= b+c

Wie man sieht, ist diese Beziehung nur dann wahr, wenn a\gt b, denn es gibt kein c\in \mathbb{N}, mit dem diese Beziehung erfüllt werden kann, falls a\leq b.

Durch die Definition der Subtraktion haben wir die bekannte Regel, dass das, was auf einer Seite der Gleichung addiert wird, auf die andere Seite subtrahiert werden kann, und umgekehrt.

Division natürlicher Zahlen

Wenn a,b,c\in\mathbb{N}, sagen wir, dass die Division zwischen a und b (in dieser Reihenfolge), geschrieben a/b, durch die Beziehung definiert wird

a/b=c \leftrightarrow a= bc

Aus der Definition der Division haben wir die Regel, dass das, was auf einer Seite der Gleichung multipliziert wird, auf die andere Seite dividierend übergehen kann, und umgekehrt.

So wie für das Bestehen der Subtraktion a - b erfüllt sein muss, dass a\gt b, ist für das Bestehen der Division a/b erforderlich, dass a durch b „teilbar“ ist. Dies stellen wir dar, indem wir schreiben

a ist teilbar durch b \; :=a|b \; := \; (\exists k \in \mathbb{N})(a = kb)

Potenzen natürlicher Zahlen

Mit den natürlichen Zahlen lassen sich Potenzen definieren. Eine natürliche Zahl b, die wir Basis nennen, zu einer anderen natürlichen Zahl n, die wir Exponent nennen, zu erheben, bedeutet, b n-mal zu multiplizieren. Somit

b^n = \underbrace{bb\cdots b}_{n\;veces}

Sind a,b,n,m\in\mathbb{N}, so können die folgenden Eigenschaften durch (doppelte) Induktion gezeigt werden:

1. \displaystyle b^nb^m=b^{n+m}
2. \displaystyle \frac{b^n}{b^m} = b^{n-m}, sofern n\lt m
3. \displaystyle (ab)^n=a^nb^n
4. \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
5. \displaystyle (b^n)^m=b^{nm}

Vorgeschlagene und gelöste Aufgaben

1. Alle hier gezeigten Eigenschaften können mithilfe der mathematischen Induktion (einfach oder doppelt) bewiesen werden, aber ich habe sie nicht ausgeführt, weil der resultierende Beweis für diese intuitiven Ergebnisse unnötig lang ist. Wer diesem Unterricht folgt, kann jedoch versuchen, solche Beweise als Übung durchzuführen. [Nur vorgeschlagen]
2. Ist es dasselbe b^{n^m} (definiert als b^{(n^m)}) wie (b^n)^m? [Lösung]
3. Verwenden Sie die gesehenen Eigenschaften, um die folgenden Gleichungen zu überprüfen:
   a) (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd [Lösung]
   
   b) (a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd,; sofern c\gt d [Lösung]
   
   c)(a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd,; sofern a\gt b und c\gt d [Lösung] 
4. Zeigen Sie, dass
   
   a) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [Lösung]
   
   b) (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2; sofern c\gt d [Lösung]
   
   c) (a+b)(a-b) = a^2-b^2; sofern c\gt d [Lösung]
   
   d) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 [Lösung]
   
   e) (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3; sofern c\gt d [Lösung]

    

5. Beweisen Sie durch vollständige Induktion die folgenden Eigenschaften:
   
   a) 1+2+3+4+\cdots+n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} [Lösung]
   
   b) 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [Lösung]
   
   c) 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3 = \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} [Lösung]