Mikrozustand und Makrozustand in der Thermodynamik
In dieser Vorlesung lernst du, Mikro- und Makrozustände in der Thermodynamik zu unterscheiden, und erforschst, wie die mikroskopischen Konfigurationen eines Systems seine makroskopischen Eigenschaften bestimmen. Anhand konkreter Beispiele, wie der Berechnung von Kombinatorik in Systemen mit mehreren möglichen Zuständen, wirst du zentrale Konzepte verstehen, die das Mikroskopische mit dem Beobachtbaren verbinden. Entdecke, wie diese Ideen grundlegend sind, um das Verhalten komplexer thermischer Systeme zu interpretieren, und entwickle eine neue Perspektive auf die Prinzipien, die die Materie beherrschen.
Lernziele:
Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein,
- Zu unterscheiden zwischen Mikro- und Makrozustand, unter Verständnis ihrer Definitionen und Anwendungen in der Thermodynamik.
- Mikrozustände in Makrozustände nach gemeinsamen Eigenschaften zu klassifizieren und ihre Anzahl mittels Kombinatorik zu berechnen.
- Zu erklären, wie die Gleichwahrscheinlichkeit der Mikrozustände die Wahrscheinlichkeit der Makrozustände in thermodynamischen Systemen bestimmt.
- Die mikroskopischen Eigenschaften eines Systems mit seinen makroskopischen Eigenschaften wie Druck, Volumen und Energie in Beziehung zu setzen.
- Thermische Systeme anhand praktischer Beispiele zu analysieren und dabei die Relevanz von Mikro- und Makrozuständen hervorzuheben.
INHALTSVERZEICHNIS:
Der Unterschied zwischen Mikro- und Makrozustand in der Thermodynamik
Eigenschaften der Makrozustände in der Thermodynamik
Die Unterscheidung zwischen Mikrozustand und Makrozustand in der Thermodynamik
Eine äußerst wichtige Unterscheidung in der Thermodynamik ist jene, die den Unterschied zwischen Mikro- und Makrozustand betrifft. Im Allgemeinen wird gesagt, dass der Mikrozustand mit den mikroskopischen Aspekten der Materie in Verbindung steht, während sich der Makrozustand auf die Gesamtheit eines Systems bezieht, das aus vielen Mikrosystemen besteht. Auch wenn eine solche Unterscheidung hilft, das Denken bei einer ersten Annäherung an diese Ideen zu leiten, erfasst sie allein nicht das eigentliche Wesen von Mikro- und Makrozustand.
Um eine präzisere Vorstellung von diesen Konzepten zu bekommen, betrachten wir das folgende Beispiel
Mikrozustände und Makrozustände mit Münzen
Stellen Sie sich vor, Sie haben eine Schachtel mit 100 Münzen, die jederzeit geschlossen bleibt. Wenn Sie diese Schachtel kräftig schütteln, werden die Münzen im Inneren hochspringen und in einer bestimmten Position landen: Kopf oder Zahl. Das gesamte System hat folglich eine Vielzahl möglicher Zustände, in die es sich entwickeln könnte: 2^{100} insgesamt (versuchen Sie, die Größenordnung dieser Zahl abzuschätzen!), und mit „Zustand“ beziehen wir uns auf die unterschiedlichen Konfigurationen von Kopf und Zahl, die auftreten könnten. Es wird angenommen, dass jede dieser Konfigurationen gleich wahrscheinlich ist, sodass jede einzelne eine Wahrscheinlichkeit von 1/2^{100} hat, einzutreten.
Jede einzelne Konfiguration ist ein Mikrozustand
Wir werden sagen, dass jede einzelne Konfiguration ein Mikrozustand dieses Systems ist. Zum Beispiel: die erste Münze zeigt Kopf, die zweite Zahl, die dritte Kopf und so weiter… Um einen Mikrozustand zu identifizieren, ist es notwendig, jede einzelne Münze zu bestimmen, was in der Praxis etwas mühsam ist.
Ein Makrozustand ist die Familie aller Mikrozustände mit einer gemeinsamen Eigenschaft
An diesem Punkt, anstatt jeden einzelnen Mikrozustand zu untersuchen, können wir den Weg wählen, die möglichen Mikrozustände innerhalb einer Familie mit einer gemeinsamen Eigenschaft zu klassifizieren: diejenigen mit einer einzigen Kopfseite, diejenigen mit 2 Köpfen, diejenigen mit 3 Köpfen usw. Indem wir die Kombinatorik berechnen, gelangen wir zu den Mikrozuständen, die haben
- 0 Köpfe und 100 Zahlen: \displaystyle{{100}\choose{0}} = \frac{100!}{(100 - 0)! 0!} = 1 Zustand insgesamt
- 1 Kopf und 99 Zahlen: \displaystyle {{100}\choose{1}} = \frac{100!}{(100 - 1)! 1!}= \frac{100!}{99!} = 100 Zustände insgesamt
- 2 Köpfe und 98 Zahlen: \displaystyle {{100}\choose{2}} = \frac{100!}{(100 - 2)! 2!}= \frac{100!}{98!2!} = \frac{99\cdot 100}{2} = 99 \cdot 50 = 4950 Zustände insgesamt
- 49 Köpfe und 51 Zahlen: \displaystyle{{100}\choose{49}} = \frac{100!}{(100 - 49)! 49!}= \frac{100!}{51!49!}\approx 9.89\cdot 10^{28} Zustände insgesamt
- 50 Köpfe und 50 Zahlen: \displaystyle{{100}\choose{50}} = \frac{100!}{(100 - 50)! 50!}= \frac{100!}{50!50!}\approx 10^{29} Zustände insgesamt
- 51 Köpfe und 49 Zahlen: \displaystyle{{100}\choose{51}} = \frac{100!}{(100 - 51)! 51!}= \frac{100!}{49!51!}\approx 9.89\cdot 10^{28} Zustände insgesamt
- 52 Köpfe und 48 Zahlen: \displaystyle{{100}\choose{52}} = \frac{100!}{(100 - 52)! 52!}= \frac{100!}{48!52!}\approx 9.32\cdot 10^{28} Zustände insgesamt
- 70 Köpfe und 30 Zahlen: \displaystyle{{100}\choose{70}} = \frac{100!}{(100 - 70)! 70!}= \frac{100!}{30!70!}\approx 2.93\cdot 10^{25} Zustände insgesamt
- 100 Köpfe und 0 Zahlen: \displaystyle{{100}\choose{100}} = \frac{100!}{(100 - 100)! 100!}= \frac{100!}{0!100!} = 1 Zustand insgesamt
So enthält der Makrozustand „0 Köpfe“ einen einzigen Mikrozustand, der Makrozustand „1 Kopf“ umfasst 100 Mikrozustände, der Makrozustand „2 Köpfe“ hat 4950 Mikrozustände und so weiter.
Eigenschaften der Makrozustände in der Thermodynamik
Im Allgemeinen besteht ein Makrozustand aus einer großen Anzahl gleich wahrscheinlicher Mikrozustände.
Obwohl alle Mikrozustände gleich wahrscheinlich sind, sind die Makrozustände im Allgemeinen nicht gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit eines Makrozustands ist proportional zur Anzahl der Mikrozustände, die er enthält. Der wahrscheinlichste Makrozustand ist derjenige, der die größte Anzahl an Mikrozuständen besitzt.
Thermische Systeme verhalten sich sehr ähnlich zu dem Beispiel, das wir gerade betrachtet haben. Um einen Mikrozustand in einem thermodynamischen System zu spezifizieren, ist es notwendig, die Größen anzugeben, die eine bestimmte Konfiguration des Systems auf mikroskopischer Ebene definieren: dies kann die Position, die Geschwindigkeit oder die Energie der Atome sein, aus denen das System besteht.
In der Praxis ist es unmöglich, jeden einzelnen Mikrozustand des Systems zu messen. Andererseits können die Makrozustände nur in Bezug auf die makroskopischen Eigenschaften des Systems beschrieben werden, wie Druck, Gesamtenergie oder Volumen. Eine makroskopische Konfiguration eines Systems mit einem Volumen von 2[m^3], das einem Druck von 35[kPa] ausgesetzt ist, kann mit einer großen Anzahl mikroskopischer Konfigurationen verbunden sein.