Plane Spiegel, gelöste Probleme
Zusammenfassung:
In dieser Vorlesung werden einige gelöste Probleme zu ebenen Spiegeln behandelt. Es wird der Reflexionswinkel \gamma in Abhängigkeit vom Winkel \theta zwischen zwei ebenen Spiegeln, die durch ein Scharnier verbunden sind, bestimmt und spezifische Beispiele werden berechnet. Kritische Werte von \alpha werden untersucht, damit der Strahl einmal an jedem Spiegel reflektiert wird, und die Formel für \gamma wird überprüft. Ebenso werden Einfallswinkel identifiziert, die bewirken, dass der Strahl auf sich selbst zurückkehrt, wobei eine Sequenz von Rückkehrwinkeln \alpha_n = n\theta berechnet wird.
Lernziele
Am Ende dieser Vorlesung wird der Studierende in der Lage sein:
- Die grundlegenden Formeln der Optik ebener Spiegel zu verstehen.
- Das Reflexionsgesetz auf Probleme mit ebenen Spiegeln anzuwenden.
- Den Reflexionswinkel \gamma in Abhängigkeit vom Winkel \theta zwischen zwei ebenen Spiegeln zu bestimmen.
- Die Grenzen der Formeln für Spiegel und deren Gültigkeitsbedingungen zu analysieren.
INHALTSVERZEICHNIS
Einführung
Durch ein Scharnier verbundene Spiegel
Untersuchung der Grenzen einer Überlegung
Rückkehrwinkel
Einführung
In der vorherigen Vorlesung haben wir die meisten Formeln im Zusammenhang mit der Optik ebener und sphärischer Spiegel durchgesehen; jedoch ist es für ein besseres Verständnis dieser Themen notwendig, die Art und Weise zu betrachten, wie sie bei der Lösung der entsprechenden Probleme auftreten. Aus diesem Grund widmen wir diesen Abschnitt ausschließlich der Lösung einiger Probleme. Dieses Mal konzentrieren wir uns ausschließlich auf ebene Spiegel.
Durch ein Scharnier verbundene Spiegel
Zwei ebene Spiegel, die durch ein Ende verbunden sind, bilden zwischen sich einen Winkel \theta. Wenn ein Lichtstrahl auf einen der Spiegel mit einem Winkel \alpha relativ zur Normalen einfällt, so dass das Licht nur einmal an jedem Spiegel reflektiert wird und sich selbst schneidet, bildet er einen Winkel \gamma:
- Finden Sie eine Formel, mit der der Winkel \gamma in Abhängigkeit von den anderen Daten bestimmt werden kann.
- Wenn der Lichtstrahl auf den ersten Spiegel mit einem Winkel \alpha=30^o einfällt und der Winkel zwischen den Spiegeln \theta=50^o beträgt, wie groß ist dann der Winkel \gamma?
- Definiert man den Winkel \beta zwischen der Normalen des zweiten Spiegels und dem vom ersten Spiegel reflektierten Lichtstrahl und verwendet das Reflexionsgesetz für ebene Spiegel, kann man die Figur wie folgt ergänzen:
Unter Berücksichtigung dessen ist nun folgendes Vorgehen möglich:[/latex] (90^o - \alpha) + (90^o - \beta) + \theta = 180^o ; Weil die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180^o beträgt \equiv \alpha + \beta = \theta [/latex] 2\alpha +2\beta + \gamma = 180 ; Weil die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180^o beträgt \equiv \gamma = 180 - 2(\alpha + \beta) [/latex] \color{blue}{\gamma = 180 - 2\theta} ; Aus (1,2) Daraus folgt, dass der Winkel \gamma nur eine Funktion des Winkels \theta ist, den die Spiegel bilden, und seine Formel lautet \gamma(\theta) = 180^0 - 2\theta
- Aus der Überlegung im vorherigen Abschnitt ergibt sich \gamma = 180^o - 2\cdot 50^o = 80^o
Untersuchung der Grenzen einer Überlegung
Die vorherige Aufgabe weist ein heikles Problem auf. Wenn Sie die Aufgabenstellung betrachten, sehen Sie, dass verlangt wird, dass der Lichtstrahl nur einmal an jedem Spiegel reflektiert wird; damit dies geschieht, ist jedoch nicht jeder Wert von \alpha geeignet. Finden Sie die Werte von \alpha, die diese Bedingung erfüllen und somit die Gültigkeit der im vorherigen Beispiel erhaltenen Formel gewährleisten.
Wir haben, dass \alpha den „kritischen“ Wert erreicht, wenn gilt \beta=0^o; und wenn dies eintritt, können wir einen Winkel x wählen, der das folgende Vorgehen erlaubt:
Es müssen die folgenden beiden Gleichungen erfüllt sein:
\alpha + x = 90^o
\theta + x = 90^o
Und dies ist nur möglich, wenn:
\alpha = \theta
Das heißt: der Wert \alpha=\theta ist der kritische Einfallswinkel, sodass, wenn er überschritten wird, der Strahl mehr als zweimal an einem Spiegel reflektiert wird und folglich die im vorherigen Beispiel erhaltene Formel ungültig macht. Aus diesen Ergebnissen können wir das Ergebnis der vorherigen Aufgabe korrigieren, indem wir schreiben:
\gamma(\theta, \alpha) = 180^0 - 2\theta \;\;\;\; ; \;\;\;\; \alpha \in ]0,\theta[
Rückkehrwinkel
Aus diesen Ergebnissen können wir erkennen, dass sich der Lichtstrahl für bestimmte Einfallswinkel auf sich selbst zurückführt. Dies geschieht, wenn \alpha = 0^o oder wenn \alpha = \theta, wobei \theta der zwischen den beiden ebenen Spiegeln gebildete Winkel ist. Gibt es weitere Rückkehrwinkel? Und falls ja, wie könnten sie berechnet werden?
LÖSUNGUm dieses Problem zu lösen, müssen wir uns die Situation vorstellen, die eintritt, wenn der Lichtstrahl auf den ersten Spiegel mit einem Winkel relativ zur Normalen \alpha\in ]\theta, 180^o[ einfällt. Wenn dies geschieht, haben wir eine Situation wie in der folgenden Abbildung dargestellt:
Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180^o beträgt:
(90^o - \alpha) + (90^o + \beta) + \theta = 180
Durch Vereinfachung dieser Beziehung können wir den Winkel \beta in Abhängigkeit von \alpha und \theta erhalten.
\beta=\alpha - \theta
Dieser Ausdruck ist wichtig, weil, wenn \beta=\theta, dann nach der Überlegung der vorherigen Aufgabe der Strahl bei der nächsten Reflexion auf sich selbst zurückfallen müsste. Also \alpha=2\theta. Daher kann dieses Vorgehen induktiv erweitert werden durch:
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{n-1} = \alpha_n - \theta
Und daraus ergibt sich die Sequenz der Rückkehrwinkel:
- \alpha_0 = 0^o
- \alpha_1 = \theta
- \alpha_{2} = 2\theta
\vdots
- \alpha_{n} = n\theta
Darüber hinaus müssen wir beachten, dass sowohl der Winkel zwischen den ebenen Spiegeln als auch jeder einzelne Einfallswinkel spitz sein müssen.