Einführung

Einseitige Grenzwerte treten auf, wenn ein Grenzwert nur von links oder rechts existieren könnte, jedoch nicht von beiden Seiten. Diejenigen, die wir bisher untersucht haben, gehören genau zur letzteren Art: Damit der Grenzwert der Funktion f für x\to x_0 existiert, muss f auf beiden Seiten von x_0 definiert sein; wenn dies nicht der Fall ist, funktioniert die Definition des Grenzwerts nicht. Da Situationen dieser Art häufig auftreten, ist es notwendig, eine Methode zu finden, um mit ihnen umzugehen. Dies wird durch eine formale Definition gelöst.

Intuitive Vorstellung einseitiger und zweiseitiger Grenzwerte

Damit der Grenzwert einer Funktion f für x\to x_0 existiert, muss die Funktion auf beiden Seiten von x_0 wohldefiniert sein. Wenn dies der Fall ist, spricht man von einem zweiseitigen Grenzwert. Und wenn dieser Grenzwert zudem den Wert L ergibt, dann können wir problemlos schreiben:

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L

Stellen wir uns nun vor, wir definieren diese Funktion neu, sodass ihr Definitionsbereich nur Werte größer als x_0 enthält. In diesem Fall stellen wir fest, dass der Grenzwert im ursprünglichen Sinne nicht mehr existiert (da es Werte von x gibt, für die der Ausdruck keinen Sinn ergibt); dennoch könnten wir grafisch sagen, dass f(x) weiterhin gegen L strebt, wenn x\to x_0. Die dabei entstehende intuitive Vorstellung ist die des rechtsseitigen Grenzwerts, der durch die folgende Notation dargestellt wird:

\displaystyle \lim_{x\to x_0^+}f(x) = L

Analog dazu ergibt sich der linksseitige Grenzwert durch:

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = L

Schließlich existiert der zweiseitige Grenzwert genau dann, wenn die einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind:

\displaystyle \lim_{x\to x_0^-}f(x) = \lim_{x\to x_0}f(x) = \lim_{x\to x_0^+}f(x)

Formale Definition einseitiger Grenzwerte

Um einseitige Grenzwerte formal zu definieren, genügt es, eine kleine Änderung an der ursprünglichen Definition des Grenzwerts vorzunehmen.

\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L := \left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. 0\lt|x-x_0|\lt\delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Für die rechtsseitigen Grenzwerte ergibt sich die Definition wie folgt:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Für die linksseitigen Grenzwerte gilt entsprechend:

\left(\forall \epsilon\gt 0 \right) \left(\exist \delta \gt 0 \right) \left(\right. x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \left.\rightarrow |f(x)-L|\lt\epsilon \right)

Bedingungen für die Grenzwertalgebra

Das Interessante an diesen Definitionen ist, dass sie beide in der üblichen Definition des Grenzwerts enthalten sind. Dies ist von Bedeutung, da es uns davon befreit, alle Eigenschaften, die wir bereits für zweiseitige Grenzwerte bewiesen haben, erneut zu beweisen. Die gesamte Grenzwertalgebra funktioniert genauso wie in den vorherigen Lektionen, solange die beteiligten Grenzwerte von gleicher Natur sind (beide linksseitig oder beide rechtsseitig, niemals gemischt), sich auf denselben Punkt beziehen und an diesem Punkt existieren.

Vorgeschlagene und gelöste Übungen

1. \displaystyle \lim_{x\to {\frac{1}{2}}^- } \sqrt{\dfrac{x+2}{x+1}} [LÖSUNG]
2. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \sqrt{\dfrac{x-1}{x+2}} [LÖSUNG]
3. \displaystyle \lim_{x\to 2^+} \left(\dfrac{x}{x+1} \right) \left(\dfrac{2x+5}{x^2+x} \right) [LÖSUNG]
4. \displaystyle \lim_{x\to 1^-} \left(\dfrac{1}{x+1} \right) \left(\dfrac{x+6}{x} \right) \left(\dfrac{3-x}{x} \right) [LÖSUNG]
5. \displaystyle \lim_{h\to 0^+ } \dfrac{\sqrt{h^2 + 4h +5} - \sqrt{5}}{h} [LÖSUNG]
6. \displaystyle \lim_{h\to 0^-} \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{5h^2 + 11h +6}}{h} [LÖSUNG]

7. a. \displaystyle \lim_{x\to -2^+} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   b. \displaystyle \lim_{x\to -2^-} (x+3)\dfrac{|x+2|}{x+2}

   [LÖSUNG]

8. a. \displaystyle \lim_{x\to 1^+} \dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   b. \displaystyle \lim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{2x}(x-1)}{|x-1|}

   [LÖSUNG]