Formulierung der Galilei-Transformationen

Die Newtonsche Physik beruht auf dem Relativitätsprinzip, das durch die Galilei-Transformationen modelliert wird, wobei die Zeit als universelle Koordinate für alle Inertialbeobachter festgelegt ist; das heißt: t=t^\prime. Unter dieser Annahme hat sich gezeigt, dass die lineare Transformation, die die Beobachtungen zweier Inertialsysteme S und S^\prime verbindet, wie in der Vorlesung über das Relativitätsprinzip besprochen, die Form einer linearen Transformation hat:

\begin{array}{rl} t^\prime &= At + Bx,\\ x^\prime &= Dt + Ex,\\ y^\prime &= y, \\ z^\prime &=z, \end{array} [1]

nimmt die folgende Form an, wenn die Inertialsysteme S und S^\prime in Standardkonfiguration stehen und sich S^\prime mit der Geschwindigkeit v_{ss^\prime_x}\hat{x} relativ zu S bewegt

\begin{array}{rlr} {}t^\prime &= t \\ x^\prime &= x - v_{ss^\prime_x}t \\ y^\prime &= y \\ z^\prime &= z \end{array} [2]

Die inverse Transformation

Aufgrund einer Art algebraischer Symmetrie können wir die inverse Transformation schreiben:

\begin{array}{rl} t &= t^\prime \\ x &= x^\prime + v_{ss^\prime_x}t \\ y &= y^\prime \\ z &= z^\prime \end{array} [3]

Die absolute Zeit und die Addition der Geschwindigkeiten

Aus der ersten Gleichung der Galilei-Transformationen (egal ob [2] oder [3]) ergibt sich, dass die Zeitkoordinate eines Ereignisses nicht vom Bezugssystem abhängt, von dem aus es beobachtet wird, während die zweite Gleichung das liefert, was üblicherweise als „gesunder Menschenverstand“ in Bezug auf die Addition von Geschwindigkeiten verstanden wird. Bewegt sich ein Teilchen mit konstanter Geschwindigkeit v_{ss^\prime_x} entlang der Achse \hat{x} von S, dann ergibt sich seine Geschwindigkeit in S^\prime aus

\displaystyle v^\prime_x = \frac{dx^\prime}{dt^\prime} = \frac{dx^\prime}{dt} = \frac{d}{dt}\left(x - v_{ss^\prime_x} t \right) = v_x - v_{ss^\prime_x}

Aus dieser letzten Darstellung folgt, dass die Beschleunigung eines beliebigen Teilchens in S und in S^\prime dieselbe ist, das heißt: dv^\prime_x/dt^\prime = dv_x/dt.

Galileische Geometrie von Raum und Zeit

Betrachten wir zwei Ereignisse A und B mit den Koordinaten (t_A,x_A,y_A,z_A) und (t_B,x_B,y_B,z_B), jeweils. Es ist leicht zu erkennen, dass die Größen \Delta t = t_B - t_A und \Delta r^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 getrennt invariant unter den Galilei-Transformationen sind. Dies führt uns dazu, Raum und Zeit als getrennte Entitäten zu betrachten. Andererseits deutet \Delta r^2 darauf hin, dass es sich hierbei um eine geometrische Eigenschaft des Raumes selbst handelt. Wir erkennen \Delta r^2 als das Quadrat des Abstands zwischen den Ereignissen im euklidischen Raum. Dies definiert die Geometrie von Raum und Zeit im Kontext der Newtonschen Mechanik.

Die Galilei-Relativität und die physikalischen Gesetze

Angewandt auf die Newtonsche Dynamik

Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass im Kontext der Newtonschen Physik zwei verschiedene beliebige Inertialsysteme stets dieselben Beschleunigungen sehen. Dies, zusammen mit dem zweiten Newtonschen Gesetz, impliziert, dass alle Inertialsysteme stets dieselbe Dynamik beobachten. Das heißt:

\displaystyle F_x = m\frac{dv_x}{dt}= m\frac{dv^\prime_x}{dt^\prime} = F^\prime_x.

Dieser letzte Ausdruck sagt uns, dass die Physik sich bei Galilei-Transformationen nicht ändert, was gleichbedeutend damit ist, dass die Physik für alle Inertialbeobachter dieselbe ist.

Angewandt auf die Wellenausbreitung

Auch wenn diese Beständigkeit der Physik bei Änderungen von Inertialbeobachtern etwas ist, was man erwartet – erstens, weil wir dies beim Bewegen beobachten, und zweitens, weil es durch die vorhergehenden Berechnungen erhalten wurde –, so trifft dies in Wirklichkeit nicht immer in dieser Weise zu. Der bemerkenswerteste Fall eines Phänomens, das unter Galilei-Transformationen nicht erhalten bleibt, ist der Fall der Wellenausbreitung; im Allgemeinen hat die Gleichung, die die Ausbreitung einer Welle \psi im Raum und in der Zeit modelliert, die Form

\displaystyle \nabla^2 \psi = \frac{1}{v_0^2}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} [4]

wobei v_0 die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle ist.

Welche Wirkung haben die Galilei-Transformationen auf die Wellenausbreitung?

Hierauf gibt es eine kurze und eine lange Antwort. Die kurze Antwort lautet: „Auch wenn dasselbe Phänomen beobachtet wird, sehen verschiedene Inertialbeobachter eine unterschiedliche ‚Physik‘.“ Die lange Antwort besteht darin, zu betrachten, wie sich die Wellenausbreitungsgleichung verändert, wenn die Galilei-Transformation angewandt wird; dazu nehmen wir zunächst die Gleichung [4] und entwickeln sie in Bezug auf jede ihrer Koordinaten, wobei wir erhalten:

\displaystyle \frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial ^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{1}{v_0^2} \frac{\partial ^2 \psi}{\partial t^2}. [5]

Mit dieser Gleichung zur Hand müssen wir nun die Gleichungen aus [3] verwenden, um die Ableitungen im anderen Inertialsystem neu auszudrücken.

Transformation der ersten Ableitungen

Entsprechend den Ausdrücken aus [3] und durch Ableitung jeder Variablen in Bezug auf die Strichvariablen ergibt sich:

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial y}= \frac{\partial z^\prime}{\partial z}= \frac{\partial t^\prime}{\partial t}= 1

\displaystyle \frac{\partial x^\prime}{\partial t} = - v_{x_0}

Während alle übrigen verschwinden:

\displaystyle \frac{\partial t^\prime}{\partial x} = \frac{\partial t^\prime}{\partial y} = \frac{\partial t^\prime}{\partial z} = \frac{\partial x^\prime}{\partial y} = \frac{\partial x^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial x} = \frac{\partial y^\prime}{\partial z} = \frac{\partial y^\prime}{\partial t} = \frac{\partial z^\prime}{\partial x} = \frac{\partial z^\prime}{\partial y} = \frac{\partial z^\prime}{\partial t} = 0

Damit können wir nun die Ableitungen von \psi mithilfe der Kettenregel berechnen:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial x}}_{=1} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime} \underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime} \underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial x}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial x}}_{=0} = \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}.

Und in analoger Weise gilt dies für die beiden anderen Raumvariablen:

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}.

\displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial z} = \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}.

Die zeitliche Ableitung weist jedoch einige Unterschiede auf:

\begin{array}{rl} \displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} &= \displaystyle\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime}\underbrace{\frac{\partial x^\prime}{\partial t}}_{=-v_{x_0}} + \frac{\partial \psi}{\partial y^\prime}\underbrace{\frac{\partial y^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial z^\prime}\underbrace{\frac{\partial z^\prime}{\partial t}}_{=0} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}\underbrace{\frac{\partial t^\prime}{\partial t}}_{=1}\\ &=\displaystyle -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime}, \end{array}

Transformation der zweiten Ableitungen

Für den räumlichen Teil kann man ohne große Schwierigkeiten fortfahren, die Ergebnisse lauten:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2}. [6]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} [7]

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} [8]

Der zeitliche Teil jedoch, wie bereits aus den ersten Ableitungen zu erwarten war, zeigt große Unterschiede:

\begin{array}{rl} \displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} &=\displaystyle \frac{\partial}{\partial t}\left( -v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ & \displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(\frac{\partial \psi}{\partial t} \right)\\ &\displaystyle = -v_{x_0} \frac{\partial }{\partial x^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) + \frac{\partial }{\partial t^\prime} \left(-v_{x_0} \frac{\partial \psi}{\partial x^\prime} + \frac{\partial \psi}{\partial t^\prime} \right) \end{array}

\displaystyle\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2}. [9]

Anwendung der Galilei-Transformationen auf die Wellenausbreitung

Auf diese Weise ist es möglich, die Galilei-Transformation auf die Wellenausbreitungsgleichung anzuwenden, indem man die Gleichungen [6,7,8] und [9] in [5] einsetzt, was zum folgenden Ergebnis führt:

\displaystyle \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {y^\prime}^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {z^\prime}^2} = \frac{1}{v_0^2} \left(\color{red}{ v_{x_0}^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial {x^\prime}^2} - 2v_{x_0}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^\prime \partial t^\prime}} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial {t^\prime}^2} \right). [10]

Hierbei zeigt sich, dass die Form der Wellenausbreitung unter Galilei-Transformationen nicht erhalten bleibt, da die zusätzlich in Rot markierten Terme erscheinen. Auch wenn dies vorerst keine großen Konsequenzen hat, werden wir in späteren Vorlesungen sehen, dass dies genau der Punkt ist, der – sozusagen – die klassische Physik „aufbricht“ und den Weg zur speziellen Relativität ebnet.