Coulombsches Gesetz und die elektrostatische Kraft

Das „Coulombsche Gesetz und die elektrostatische Kraft“ hat nicht nur unser Verständnis der elektrischen Kräfte erweitert, sondern auch unerwartete Anekdoten hervorgebracht. Benjamin Franklin, der in einem Experiment versuchte, mit Elektrizität einen Truthahn ohnmächtig zu machen und zu garen, wurde schließlich selbst zum Versuchsobjekt: Eine Entladung ließ ihn benommen zurück und sein Haar stellte sich auf, als ob er die Feldlinien des elektrischen Feldes am eigenen Körper veranschaulichte. Und nun ist es unsere Aufgabe, die elektrischen Kräfte zu studieren.

Lernziele:
Am Ende dieser Unterrichtseinheit wird der Studierende in der Lage sein,

1. elektrische Phänomene zu modellieren, indem er das Superpositionsprinzip verwendet, um die resultierende Kraft auf eine Probeladung zu berechnen.
2. das Studium elektrischer Kräfte zu vereinfachen, indem es auf den elektrostatischen Fall beschränkt wird.
3. das Coulombsche Gesetz anzuwenden, um die Kraft zwischen zwei Ladungen in verschiedenen Situationen zu bestimmen.
4. Systeme zu analysieren, die auf die Quelle der Ladung zentriert sind, mittels einer vereinfachten Formulierung des Coulombschen Gesetzes.
5. praktische Probleme zu lösen, die mit Ladungsverteilungen zusammenhängen.

INHALTSVERZEICHNIS:
Das Superpositionsprinzip
Die elektrostatische Vereinfachung
Das Coulombsche Gesetz
Coulombsches Gesetz für Systeme, die auf die Quelle der Ladungen zentriert sind
Übungen

Nun gilt es, diese Phänomene mathematisch zu modellieren, und dazu werden wir das Coulombsche Gesetz einführen. Doch zuvor müssen einige Punkte erklärt werden, nämlich: das Superpositionsprinzip und die elektrostatische Vereinfachung.

Das Superpositionsprinzip

Das grundlegende Problem der Elektrodynamik besteht darin, die Kraft zu bestimmen, die eine „Wolke“ elektrischer Ladungen q_1, q_2, \cdots auf eine Probeladung q_0, ausübt, wenn die Position jeder einzelnen eine bekannte Funktion der Zeit ist. Im Allgemeinen befinden sich sowohl die Quellladungen als auch die Probeladung in relativer Bewegung.

Die Lösung dieses Problems wird durch das Superpositionsprinzip erleichtert, das besagt, dass die Wechselwirkung der Probeladung mit einer bestimmten Quelle völlig unabhängig von der Wechselwirkung mit den anderen Quellladungen ist. Das bedeutet, dass es stets möglich ist, die Kraft \vec{F}_1, die von der Ladung q_1, herrührt, die Kraft \vec{F}_2, die von q_2 herrührt, und so weiter zu bestimmen, um schließlich die Gesamtkraft durch Summation zu erhalten

\vec{F}_{tot} = \displaystyle \sum_{i}\vec{F}_i

Die elektrostatische Vereinfachung

Wenn es nur darum ginge, Kräfte zu addieren, könnte man meinen, es genüge, die Gleichung anzugeben, die die Kraft beschreibt, die jede Quellladung auf die Probeladung ausübt, und das Problem wäre gelöst; jedoch ist es nicht so einfach. Das Problem besteht darin, dass die Kraft nicht nur von der Entfernung und der Größe der Ladungen abhängt, sondern auch von der relativen Geschwindigkeit und Beschleunigung jeder Teilchen. Darüber hinaus „reist die elektrische Information“ über die Änderungen der Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung jedes Teilchens mit Lichtgeschwindigkeit, sodass sie eine gewisse Zeit benötigt, um die Probeladung zu erreichen und ihre Wirkung zu entfalten.

Um unser Studium vorerst zu vereinfachen, werden wir uns daher auf den elektrostatischen Fall beschränken, das heißt: Alle Quellladungen bleiben stationär, nur die Probeladung darf sich bewegen; und in diesem Kontext tritt das Coulombsche Gesetz auf.

Das Coulombsche Gesetz

Nehmen wir an, wir haben eine Probeladung q_0. mit Position \vec{r} und eine Quellladung q mit Position \vec{r}^\prime. Wie groß ist die Kraft \vec{F}_{q \to q_0}(\vec{r}) der Quellladung auf die Probeladung? Die Antwort auf diese Frage liefert das Coulombsche Gesetz, das durch die folgende Formel ausgedrückt wird:

\vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) =\displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime \|^2} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|}

Das Coulombsche Gesetz fasst nicht nur das Vorzeichen-Gesetz für die elektrostatische Kraft zusammen, sondern legt auch fest, dass die Kraft zwischen elektrischen Ladungen umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands ist, der sie trennt.

Die Konstante \epsilon_0 wird als elektrische Feldkonstante des Vakuums bezeichnet. Ihr Wert im internationalen System ist

,

\displaystyle \epsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \left[ \frac{C^2}{N\cdot m^2}\right]

Coulombsches Gesetz für Systeme, die auf die Quelle der Ladungen zentriert sind

Das Coulombsche Gesetz kann auf einfachere Weise ausgedrückt werden, wenn man den Beobachter auf die Quelle der Ladungen setzt, das heißt, indem man \vec{r}^\prime = \vec{0}. setzt. Auf diese Weise ergibt sich

\displaystyle \vec{F}_{q \to q_0} (\vec{r}) = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \frac{\vec{r} }{\|\vec{r} \|} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q q_0 }{\|\vec{r}\|^2} \hat{r}

Wobei \hat{r}=\vec{r}/\|\vec{r}\| der Einheitsvektor ist, der von der Quelle zur Probeladung zeigt.

Übungen

1. Zwölf Punktladungen gleicher Größe q werden an den Ecken eines regelmäßigen Zwölfecks (wie die Zahlen auf einer Uhr) platziert. Wie groß ist die Nettokraft auf eine Punktladung q, die im Zentrum platziert wird?
2. Eine der zwölf Ladungen aus der vorherigen Aufgabe wird entfernt, nehmen wir an, es ist diejenige, die bei zwölf Uhr stehen würde (wenn wir es uns wie eine Uhr vorstellen). Welche Kraft wird nun die Punktladung q spüren?
3. Erweitern Sie die Überlegung der beiden vorherigen Aufgaben nun auf eine Verteilung von n Quellladungen, die auf einem regelmäßigen Polygon mit n Seiten angeordnet sind, mit einer Probeladung im Zentrum.
4. Es gibt drei Punktladungen: q_1=+3[nC] mit Position (0;0)[mm], q_2=-5[nC] mit Position (0,56;0)[mm] und q_3=+7[nC] mit Position (1;1)[mm]. Berechnen Sie die Gesamtkraft auf die Ladung q_3.
5. Auf einer Achse befindet sich eine Ladung q_1 = 3[C], und in einer Entfernung von 40[mm] eine weitere Ladung q_2 = 7[C]. Wenn zwischen diesen beiden Ladungen eine dritte so platziert wird, dass die Summe der Kräfte auf sie null ist – wie groß ist dann der Abstand dieser dritten Ladung zu den beiden anderen?
6. Zwei kleine Kupferkugeln, jede mit einer Masse von 0,040[kg], werden durch einen Abstand von 2,0[m] getrennt. Unter der Annahme, dass die molare Masse von Kupfer 63,5[g/mol] beträgt und seine Ordnungszahl 20 ist, beantworten Sie die folgenden Fragen:
   1. Wie viele Elektronen hat jede Kugel?
   2. Wie viele Elektronen müssen von einer Kugel auf die andere übertragen werden, um eine Anziehungskraft zwischen den Kugeln von etwa 10^4[N] zu erzeugen?
   3. Welchen Bruchteil der Elektronen der Kugeln stellt dies dar?