معامل الانكسار

يُعرَّف معامل الانكسار لوسط ما على أنه النسبة بين سرعة الضوء في الفراغ وسرعة الضوء في هذا الوسط. هذه الكمية بلا أبعاد وعادة ما يرمز إليها بالحرف n_k:

n_k=\displaystyle \frac{c}{c_k}

حيث c هي سرعة الضوء في الفراغ وc_k هي سرعة الضوء في الوسط k.

بما أن الضوء ينتقل دائمًا بسرعة أبطأ في أي وسط مقارنة بالفراغ، فإن معامل الانكسار يكون دائمًا أكبر من أو يساوي 1.

مبدأ فيرما

تعتمد سرعة الضوء على الوسط الذي ينتقل فيه. فكلما زاد معامل الانكسار للوسط، كلما قلت سرعة الضوء عند انتقاله فيه؛ وبالنسبة لذلك، يتم توضيح مبدأ فيرما على النحو التالي:

عندما ينتقل الضوء من نقطة إلى أخرى، فإنه يسلك المسار الذي يقلل من وقت الرحلة.

يبقى هذا المبدأ صحيحًا حتى عند مرور الضوء عبر وسائط مختلفة.

قانون سنيل لانكسار الضوء

بناءً على ما تم تحديده بواسطة مبدأ فيرما، يمكن تشكيل مسألة تحسين لتحديد المسار الذي سيتبعه شعاع الضوء عند مروره عبر وسائط مختلفة. هذا ما يؤدي في النهاية إلى قانون سنيل، والذي سنراه في السطور التالية من خلال صياغته وإثباته.

لنفترض أن شعاعًا يخرج من نقطة A ويصل إلى نقطة B، عابرًا حدًا يفصل بين وسطين مع معاملات انكسار n_1 وn_2 على التوالي. سيكون هدفنا هو إيجاد علاقة تمكننا من حساب مسار الشعاع الضوئي وفقًا لمبدأ فيرما المتعلق بوقت الرحلة الأدنى، ومن أجل ذلك تم تشكيل المخطط التالي:

يبدأ التفكير بتحليل شكل وقت الرحلة للشعاع الضوئي. لدينا:

\begin{array}{rl}{وقت الرحلة} & =\displaystyle \frac{{المسافة}}{{السرعة}} \\ \\ & \displaystyle =\frac{{المسافة في الوسط 1}}{{السرعة في الوسط 1}} + \frac{{المسافة في الوسط 2}}{{السرعة في الوسط 2}}\\ \\& =\displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}\end{array}

بعد القيام بذلك، ومع ثبات النقاط A وB، فإن وقت الرحلة يتحدد من خلال النقطة x التي يلامس فيها الشعاع الحد الفاصل بين الوسائط. وبهذا، يمكننا تعريف دالة زمنية t(x) على النحو التالي:

t(x) = \displaystyle \frac{1}{c_1}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\sqrt{b^2 + (d-x)^2}

الآن، بما أن مبدأ فيرما يحدد أن الضوء يتبع المسار الذي يقلل من وقت الرحلة، يمكننا من هنا إيجاد x الذي يقلل من دالة t(x). هذه في الواقع مسألة تحسين.

بتفاضل t بالنسبة إلى x، نحصل على:

\displaystyle \begin{array}{rl}\dfrac{dt}{dx} &\displaystyle = \frac{1}{c_1}\frac{d}{dx}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\frac{d}{dx}\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{1}{c_2}\frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \end{array}

الآن لاحظ:

\begin{array}{rl}\sin(\theta_1) &\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\\ \\ \sin(\theta_2) &\displaystyle = \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ c_1 & \displaystyle = \frac{c}{n_1} \\ \\ c_2 & \displaystyle = \frac{c}{n_2} \end{array}

ومن ثم، بإحلال هذه العلاقات في مشتقة الزمن، نحصل على:

\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{n_1}{c} \sin(\theta_1) - \frac{n_2}{c}\sin(\theta_2)

أخيرًا، إذا كانت النقطة x تقلل من دالة t(x), فيجب أن تكون المشتقة مساوية للصفر، ونحصل على:

\color{blue}{n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)}

هذا هو قانون سنيل لانكسار الشعاع الضوئي الذي يمر بين وسائط مختلفة، ويظهر العلاقة بين زاوية السقوط \theta_1 وزاوية الانكسار \theta_2.

انكسار، انعكاس، وانعكاس كلي للضوء

لقد رأينا أنه عندما ينتقل الضوء من وسط إلى آخر، فإنه ينكسر، لكن بشكل عام ما يحدث هو مزيج من الانكسار والانعكاس؛ ووفقًا لمعاملات الانكسار وزاوية سقوط الشعاع الضوئي، قد يختفي الانكسار ويبقى فقط الانعكاس.

لنفترض أن شعاعًا من الضوء يسقط من مادة a إلى مادة b ذات معامل انكسار n_a وn_b على التوالي. إذا كان n_a \gt n_b, وفقًا لقانون سنيل، سيكون لدينا:

\displaystyle \sin(\theta_b) = \frac{n_a}{n_b}\sin(\theta_a)

بما أن n_a/n_b \gt 1, يحدث أن \sin(\theta_b) \gt \sin(\theta_a), مما يعني أن الشعاع المنكسر ينحرف بعيدًا عن العمود. هذا يعني أنه يجب أن يكون هناك \theta_a\lt 90^o حيث يكون \sin(\theta_b)=1 وبالتالي، \theta_b=90^o, كما هو موضح في الشكل التالي.

زاوية السقوط التي تجعل الشعاع ينكسر على طول الحدود تُعرف بالزاوية الحرجة وتحقق العلاقة التالية:

\displaystyle \sin(\theta_{الحرجة}) = \frac{n_b}{n_a}

ما يعادل القول:

\displaystyle \theta_{الحرجة} = \arcsin\left( \frac{n_b}{n_a} \right)

إذا كان \theta_a \gt \theta_{الحرجة}, يحدث انعكاس كلي.

تمارين:

1. تأمل شعاعًا ضوئيًا ينتقل من الماء إلى الزجاج كما هو موضح في الشكل التالي:
   
   معامل انكسار الماء هو n_1 = 1.33, ومعامل انكسار الزجاج هو n_2=1.52. إذا سقط شعاع ضوئي ينتقل من الماء إلى الزجاج على الحد الفاصل بين الوسيطين بزاوية ميل قدرها \theta_1 = 60^o بالنسبة إلى العمود، بزاوية \theta_2 يخرج الشعاع المنكسر؟ الحل
   باستخدام قانون سنيل، نحصل على:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; قانون سنيل
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)\right)
   (2)	n_1=1.33	; معامل انكسار الماء
   (3)	n_2=1.52	; معامل انكسار الزجاج
   (4)	\theta_1=60^o	; زاوية السقوط على الحد الفاصل للشعاع الضوئي
   (5)	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{1.33}{1.52}\sin(60^o)\right) \approx 49.268^o	; من (1,2,3,4)، زاوية الانكسار

   [فيديو]
2. ثلاثة سوائل تفصلها حدّان لها معاملات الانكسار التالية: n_1=1.33, n_2=1.41 وn_3=1.68, وهي مرتبة كما هو موضح في الشكل التالي:إذا مرّ الشعاع من وسط معامل انكساره n_1 إلى آخر معامل انكساره n_2 وكان يسقط على الحد الفاصل بزاوية \theta_1=70^o، فبأي زاوية سينكسر عندما يدخل في الوسط ذي معامل الانكسار n_3? الحل
   مماثلًا للتمرين السابق، لدينا التفكير التالي:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; قانون سنيل لانتقال الشعاع من الوسط n1 إلى n2
   (2)	n_2 \sin(\theta_2) = n_3 \sin(\theta_3)	; قانون سنيل لانتقال الشعاع من الوسط n2 إلى n3
   (3)	n_1 \sin(\theta_1) = n_3 \sin(\theta_3)	; من(1,2)
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_3) = \frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_3 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)\right)

   أخيرًا، بإحلال البيانات نحصل على:

   
   \displaystyle \theta_3= \arcsin\left(\frac{1.33}{1.68}\sin(70^o)\right) \approx 48.0667^o
   لاحظ أن هذا التفكير يظهر أنه يمكننا القيام بالحسابات عن طريق اعتبار الوسيطين الداخل والخارج للشعاع فقط، متجاهلين تمامًا الوسط الذي يوجد بينهما.
   
   [فيديو]
3. من قاع مسبح يتم توجيه شعاع ضوئي نحو الحد الفاصل بين الهواء والماء. حدد زاوية السقوط التي يحدث عندها انعكاس كلي.
   الحل
   الزاوية الحرجة تكون كالتالي:

   \displaystyle \theta_{الحرجة}= \arcsin\left(\frac{1.00}{1.33}\right) \approx 48.7535^o

   [فيديو]