المقدمة

إذا كانت الحركة التي استعرضناها في الحصص السابقة تسمح لنا بوصف حركة الأجسام، فمن خلال قوانين نيوتن نحصل على الديناميكا التي تسمح لنا بالتفكير في أسباب الحركة (أو تغييرات حالة الحركة). هنا تصبح أفكار الموقع والوقت مهمة، لأننا نعتمد على هذه العوامل لتحديد السرعة والتسارع، ولكن يضاف إليها عامل إضافي وهو: الكتلة.

الكتلة مهمة لتحديد حالة الحركة للأجسام، أو الزخم الخطي. يقال أن الزخم الخطي لجسم ما، \vec{p}، هو ناتج الكتلة في السرعة.

\Large \vec{p}=m\vec{v}

حالة الحركة هي الفكرة الرئيسية وراء قوانين نيوتن.

قوانين نيوتن حول ديناميات الأجسام

القانون الأول (قانون القصور الذاتي):

في غياب العوامل الخارجية، يحتفظ كل جسم بحالة حركته الثابتة.

القانون الأول لنيوتن لديه عبقرية في إرساء نقطتين ذات أهمية عميقة للفيزياء. الأولى والأكثر وضوحًا: أنه يثبت الزخم الخطي كمقدار محفوظ؛ والثانية وهي بنفس الأهمية ولكنها أكثر ضمنية، تتيح لنا تحديد ما هو المراقب القصوري.

هناك العديد من الطرق لتعريف المراقب، لكن من بين كل هؤلاء، هناك فئة خاصة نسميها المراقب القصوري. والفرق يكمن في أنه، من وجهة نظر المراقب القصوري، في غياب العامل الخارجي، تكون حالة حركة الأجسام مقدارًا محفوظًا.

ما الذي يميز المراقب القصوري عن غيره؟

الفرق يكمن في أنه، من وجهة نظر المراقب القصوري، في غياب العامل الخارجي، تكون حالة حركة الأجسام مقدارًا محفوظًا.

القانون الثاني (قانون القوة والكتلة):

من وجهة نظر المراقب القصوري، تكون القوة المؤثرة بواسطة عامل خارجي على جسم ما مكافئة لتغير حالة حركته.

بعبارة أخرى، إذا تم تطبيق قوة على جسم \vec{F}، فإنه سيكون لدينا:

\Large \displaystyle \vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}

العلاقة المعروفة “القوة تساوي الكتلة في التسارع”، \vec{F}=m\vec{a}, ليست سوى نتيجة للقانون الثاني لنيوتن، التي تُستخلص من خصائص المشتقات والحفاظ على الكتلة.

\begin{array}{rl} \vec{F} & =\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(m\vec{v} \right) \\ \\ & =\displaystyle \underbrace{\frac{dm}{dt}}_{= 0}\vec{v} + m \underbrace{\frac{d\vec{v}}{dt}}_{= \vec{a}} = m\vec{a} \end{array}

في هذه الخطوة الأخيرة، تم اعتبار dm/dt=0 لأنه يُفترض أنه لا يتم إضافة أو إزالة كتلة، وd\vec{v}/dt هو تعريف التسارع.

الكتلة القصور الذاتية

القانون الثاني لنيوتن يسمح لنا أيضًا بتوضيح مفهوم الكتلة. هنا تظهر كعامل تناسب بين القوة والتسارع. كلما زادت الكتلة، يجب أن تكون القوة المؤثرة أكبر لتحقيق نفس التسارع؛ نتيجة لذلك، تُفهم الكتلة كمقياس لقصور الأجسام ومن هنا جاءت تسميتها بالكتلة القصور الذاتية. إذا تأثرت قوتين متساويتين على جسمين في حالة سكون بالنسبة لمراقب قصوري (دون تبادل مادة)، فإنه لدينا

m_1 \vec{a}_1 = \vec{F} = m_2 \vec{a}_2

من خلال ذلك يمكننا مقارنة كتل الأجسام من خلال نسبة مقادير التسارع

\displaystyle \frac{m_1}{m_2} = \frac{\|\vec{a_2}\|}{\|\vec{a_1}\|}

لذلك، إذا كان m_2 هو “كيلوغرام معياري”، فإننا نحتاج فقط إلى مراقبة النسبة \|\vec{a}_2\|/\|\vec{a}_1\| لمعرفة عدد الكيلوجرامات في m_1.

القانون الثالث (قانون الفعل ورد الفعل):

إذا أثر جسم A على جسم B بقوة “الفعل”، فإن B يؤثر على A بقوة “رد الفعل” ذات مقدار مساوي ولكن باتجاه معاكس.

القانون الثالث لنيوتن لا يسمح فقط بالحديث بدقة أكبر عن القوى، ولكنه يثبت أيضًا بشكل صريح أن العوامل الخارجية التي تطبق قوة هي أيضًا كائنات مادية يمكن أن تتأثر بها:

• العامل الخارجي هو كائن مادي يمكن أن يتأثر بالقوى.
• القوى لا تحدث بشكل منفرد، بل تتكون من أزواج تسمى “أزواج الفعل ورد الفعل”، والمجموع المتجهي لهذه الأزواج دائمًا يكون صفراً.
• أزواج الفعل ورد الفعل تحدث دائمًا على أجسام مختلفة، بحيث لا يكون المجموع الكلي للقوة على الجسم بالضرورة صفراً.

نظرًا لأن أزواج الفعل ورد الفعل تنفذ دائمًا على خط مستقيم، فإن ذلك يؤدي إلى ما سنراه لاحقًا وهو الحفاظ على الزخم الزاوي.

إلى جانب هذه الأشياء، يقول القانون الثالث لنيوتن بعض الأمور بشكل ضمني:

• لتطبيق قوة صافية غير صفرية على جسم، يجب أن يكون هناك على الأقل جسم ثانٍ.
• الفعل ورد الفعل يحدثان بشكل متزامن. نظرًا لأن الجسمين يمكن أن يتفاعلا عن بعد (عبر الجاذبية أو الكهرومغناطيسية)، يجب أن يكون هناك في ميكانيكا نيوتن طريقة لنقل المعلومات من نقطة إلى أخرى بسرعة لانهائية. نحن نعلم أن هذا غير ممكن، لأن السرعة القصوى حسب النظرية النسبية الخاصة هي سرعة الضوء في الفراغ، لذلك نقول إن هذا القانون الثالث هو تقريب للواقع.

كيفية استخدام قوانين نيوتن؟

لفهم كيفية استخدام قوانين نيوتن بطريقة تجعل معناها واضحًا، من الأفضل الرجوع إلى أمثلة مبنية على حالات ملموسة وبناء مخططات الجسم الحر.

مخططات الجسم الحر

مخطط الجسم الحر هو رسم توضيحي نوضح فيه القوى المؤثرة على الجسم. بناءً على ما استعرضناه حول الوزن، يمكننا بناء الأمثلة التالية لمخططات الجسم الحر.

جسم موضوع على سطح أفقي

بسبب الجاذبية، كل الأجسام ذات الكتلة تشعر بقوة موجهة نحو الأرض. من خلال القانون الثاني لنيوتن نلاحظ أن هذه القوة تُعطى بضرب الكتلة في تسارع الجاذبية \vec{g}=-g\hat{y}, حيث g=9.81[m/s^2].

\vec{F}_{الوزن}=m\vec{g} = -mg\hat{y}

ما نفهمه من “الوزن” للجسم هو في الواقع مقدار هذه القوة التي أطلقنا عليها وزن.

{الوزن}=\|\vec{F}_{الوزن}\|= mg

عندما نضع كتلة على سطح أفقي، يظهر زوج من القوى الفعل ورد الفعل: وهما قوة الوزن والقوة العمودية. هذه القوى متساوية في المقدار ولكن معاكسة في الاتجاه بحيث يكون المجموع المتجهي للقوى على الجسم صفراً وبالتالي يظل حالته الحركية ثابتة على مر الزمن.

الانزلاق على سطح أفقي

لنتخيل أن الكتلة مربوطة بحبل ونسحبها كما هو موضح في مخطط الجسم الحر التالي:

هنا نلاحظ ظهور زوجين من القوى الفعل ورد الفعل: من ناحية لدينا الأزواج المرتبطة بقوى الوزن والقوى العمودية على الأجسام، وهناك زوج ثالث من الفعل ورد الفعل مرتبط بنهايات الحبل الذي يسحب الشخص الكتلة به، وأخيرًا، زوج مرتبط بالقوة المطبقة \vec{F}_1 وقوة الاحتكاك \vec{F}_{الاحتكاك}, مع قيمة قصوى \mu\|\vec{F}_\textnormal{العادية}\|.

معامل الاحتكاك وقوى الاحتكاك

هنا \mu هو معامل الاحتكاك الذي يعبر عن المقاومة للانزلاق بين سطحين؛ لمعامل الاحتكاك نسختين: واحدة حركية (\mu_c) وأخرى ثابتة (\mu_e). يظهر الاحتكاك الثابت عندما يبقى الجسم في حالة سكون بينما يظهر الاحتكاك الحركي بمجرد أن يبدأ الجسم في الانزلاق.

\begin{array}{lcr}\mu = \left\{\begin{array}{lll} \mu_e & ;& \textnormal{جسم في حالة سكون} \\ \\ \mu_c & ;& \textnormal{جسم في حركة} \end{array}\right. & ; & \textnormal{حيث } \mu_c \leq \mu_e\end{array}

قوة الاحتكاك تعارض حركة الجسم الذي يعاني منها ويمكن نمذجتها (بشكل مبسط) من خلال التعبير التالي:

\vec{F}_\textnormal{الاحتكاك} ( \vec{F}_1 ) = \left\{ \begin{array}{lll} - \vec{F}_1 & ; & \|\vec{F}_1\| \leq \mu_e \|\vec{F}_\textnormal{العادية}\| \\ \\ -\mu_c \|\vec{F}_\textnormal{العادية}\|\hat{x} & ; & \mu_e \|\vec{F}_\textnormal{العادية}\| \lt \|\vec{F}\| \end{array} \right.

عندما تكون القوة المطبقة أقل من أو تساوي الحد الأقصى للاحتكاك الثابت، يظل الجسم في حالة سكون بالنسبة للأرض. إذا تجاوزت القوة المطبقة الاحتكاك الثابت، فإن الجسم يبدأ في الحركة ويصبح الاحتكاك حركيًا، لذلك تكون القوة الصافية على الجسم: \vec{F}_{الصافية} = \vec{F}_1 - \mu_c\|\vec{F}_\textnormal{العادية}\|\hat{x}, وبالتالي يتحرك بتسارع \vec{a} = \vec{F}_{الصافية}/M. إذا، بمجرد وضع الجسم في الحركة، تتساوى القوة المطبقة مع الاحتكاك الحركي، فإن الجسم يتحرك بسرعة ثابتة.

الانزلاق على سطح مائل

عندما ينزلق جسم على سطح مائل بزاوية \alpha نحصل على مخطط القوى التالي:

هنا، ولأغراض الراحة، تم اختيار نظام مرجعي موجه بحيث تكون الإحداثية الأفقية متوازية مع سطح الانزلاق. في هذا المخطط، يتم تقسيم قوة الوزن إلى مركبتين: واحدة موازية وأخرى عمودية على الحركة.

• المركبة الموازية: \vec{F}_{\textnormal{الوزن},x}=mg\sin(\alpha)\hat{x}
• المركبة العمودية: \vec{F}_{الوزن,y}=-mg\cos(\alpha)\hat{y}

تظهر قوة الاحتكاك كرد فعل للمركبة الموازية للحركة لقوة الوزن، وتظهر القوة العمودية كرد فعل للمركبة العمودية لقوة الوزن. إذا تجاوز المركبة الأفقية لقوة الوزن الحد الأقصى للاحتكاك الثابت، فإن حالة حركة الكتلة تتغير بتسارع

\displaystyle \vec{a} = mg\left(\frac{\sin(\alpha) - \mu_c \cos(\alpha)}{m}\right)\hat{x}

الكتلة المعلقة

كتلة معلقة بحبل مرتبط بسقف وتبقى في حالة سكون لها مخطط الجسم الحر التالي:

كتلة معلقة بحبل مرتبط بسقف وتبقى في حالة سكون لها مخطط الجسم الحر التالي:

على الحبل يوجد زوج من القوى نسميها “التوتر”، إذا كان الحبل غير قابل للتمدد، فإن هذه القوى تكون متساوية ومقابلة. على الكتلة أيضًا يؤثر زوج من القوى: الوزن والتوتر في الحبل. إذا كانت الكتلة تبقى معلقة وساكنة، فإن الوزن والتوتر يكونان متضادين وبنفس المقدار. هناك قوة رابعة لم تُظهر هنا، وهي التي تبقي الحبل مرتبطًا بالسقف؛ مجموعة هذه القوى الأربع تشكل زوجين من الفعل ورد الفعل.

حركة البندول البسيط

كتلة مرتبطة بحبل غير قابل للتمدد، وهذا مرتبط بسقف، تتذبذب حول موضع توازن بسبب وزنها الخاص هو ما نسميه البندول البسيط. أسفل لدينا مخطط الجسم الحر له.

نظرًا لأن الحبل غير قابل للتمدد، لدينا أن التسارع الشعاعي يساوي صفرًا، وبالتالي:

F_{p,\parallel} + T = ma_{\parallel}(t) = 0

من ناحية أخرى، للمكون العمودي على الحبل سيكون لدينا

F_{p,\bot}=-mg\sin(\theta) = ma_{\bot}(t)

من خلال هذا التعبير الأخير، يمكننا استنتاج معادلة تفاضلية ستسمح لنا بنمذجة الموضع الزاوي \theta للبندول البسيط في الزمن

\displaystyle \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0

لكن الحصول على هذه المعادلة والاستنتاجات التي يمكننا القيام بها من خلالها هو شيء سنراه بالتفصيل لاحقًا.

حل المشكلات باستخدام قوانين نيوتن

استخدم قوانين نيوتن لحل المشكلات التالية:

1. كتلة 15[kg] وُضعت على سطح أفقي. بين الكتلة والسطح يوجد احتكاك ثابت \mu_e=0.55 واحتكاك حركي \mu_c=0.31
   1. ما هي القوة الدنيا المطلوبة لتحريك الكتلة؟
   2. احسب تسارع الكتلة عندما تبدأ في الحركة بسبب القوة التي حصلنا عليها في الجزء السابق.
2. كتلة 12[kg] وُضعت على سطح مائل. إذا كان معامل الاحتكاك الثابت هو \mu_e=0.03, فحدد أقصى زاوية ميل يمكن أن يظل الكتلة في حالة سكون.
3. كتلة 75[kg] ترتفع بسرعة ثابتة على سطح مائل بزاوية 30^o بالنسبة للأفق بسبب قوة تُطبق أفقيًا عليها. إذا كان معامل الاحتكاك الحركي بين الكتلة وسطح المنحدر هو \mu_c=0.21, فحدد مقدار تلك القوة المطبقة.
4. اعتبر كتلتين m_1 و m_2 متصلتين بحبل غير قابل للتمدد وبدون كتلة يمر عبر بكرة كما هو موضح في الشكل. احسب تسارع الكتلتين.
   
5. حبل مرن ذو كتلة M يعلق بين جدارين مكونًا زاوية \alpha عند نقاط الاتصال. احسب توتر الحبل عند النقطة الأكثر انخفاضًا.
   
6. جسم ذو كتلة m يدور في دوائر على المستوى x,y بنصف قطر R وسرعة زاوية ثابتة \omega. احسب القوة المطبقة على الكتلة.