電場の概念
19世紀、電気分野における最も偉大な実験家の一人であるマイケル・ファラデーは、独特な方法で研究を行っていた。彼の実験室は糸、帯電した球体、そして導電性液体を入れた小さな容器で満たされていた。ある有名な逸話によれば、電荷を取り巻く「力の線」を視覚化しようとする彼の執念から、鉄粉を実験室中にまき散らし、床一面に現代美術のような模様を残したという。困惑した同僚たちは彼が正気を失ったと思ったが、ファラデーは実際には最も革新的な概念の一つである「電場」を描き出していたのである。本稿では、この天才的な実験から生まれた思想が、電気を支配する目に見えない相互作用をどのように可視化し、理解する手助けとなるのかを探究する。目に見えないものをどうやって「見る」のかを疑問に思ったことがあるならば、本稿はまさにそのための案内である。
学習目標:
本講義終了後、学生は次のことができるようになる。
- 理解する: 電場の概念とクーロンの法則による電気力との関係。
- 適用する: 電場の定義を用いて点電荷に関する問題を解く。
- 分析する: 電場計算における離散的および連続的電荷分布に対する重ね合わせの原理。
- 評価する: 線状、表面、体積分布を積分して複雑な配置における電場を決定する方法。
- 解決する: 帯電棒、帯電環、無限平面などの構成に関する実践的な演習問題。
電場とは何か？
電荷源を配置したとき、その存在は試験電荷が感じる電気力を通じて確認できる。この力はクーロンの法則によって研究される。この観点から、電荷源は空間を「満たし」、電気力を生じさせる性質である電場を形成すると考える。
空間のある点 \vec{r} における電荷 q の電場を測定するためには、その位置に試験電荷 q_0 を置く必要がある。電場は、単位電荷あたり試験電荷 q_0 が感じる電気力として記述される。
\vec{E}_q(\vec{r}) = \displaystyle \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
しかし、この方法では試験電荷自体も電場を持ち、それが電荷源の電場と重なり合うという事実を見落としてしまう。この問題を解決するために、電場は次の極限を用いて定義される。
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
このように極限を用いた定義によって、試験電荷 q_0 の電場が電荷 q の電場測定に干渉しないことが保証される。ここでクーロンの法則を思い出すと、電荷 q を持つ粒子の電場は次のように表される。
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{1}{q_0} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^2} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^3}
したがって次の関係が成り立つ。
\displaystyle \vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r}) = q_0 \vec{E}_q(\vec{r})
電場と電荷分布
電場は力に基づいて研究され、重ね合わせの原理を満たすため、さまざまな電荷分布の電場を調べることができる。
離散分布
n 個の離散的な電荷分布を考える。 q_1, q_2, \cdots, q_n は位置 \vec{r}^\prime_1, \vec{r}^\prime_2, \cdots, \vec{r}^\prime_n に存在するとする。ある点 \vec{r} における電場を計算したい場合、次のようになる。
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} -\vec{r}_i^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}_i^\prime\|^3}
すなわち、すべての個々の電場の総和である。
連続分布
連続的な電荷分布には3種類があり、それぞれは空間的配置を記述するために必要なパラメータの数に関連している。これらは線状分布、表面分布、体積分布である。
線状分布
線状電荷分布では、 帯電体の各線要素は線電荷密度 \lambda(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dl を持ち、その結果電場の微小要素は次のように表される。
d\vec{E}(\vec{r}) =\displaystyle \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\lambda(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
この式を積分すると、次のようになる。
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathcal{C}} \lambda(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
ここで \mathcal{C} は帯電体の形状を記述する曲線のパラメトリック表現である。
表面分布
表面電荷分布では、帯電体の各表面要素は表面電荷密度 \sigma(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dS を持ち、その結果電場の微小要素は次のように表される。
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\sigma(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
この式を積分すると、次のようになる。
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{\mathcal{A}} \sigma(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
ここで \mathcal{A} は帯電体の形状を記述する表面のパラメトリック表現である。
体積分布
体積電荷分布では、帯電体の各体積要素は体積電荷密度 \rho(\vec{r}_i^\prime)=dq(\vec{r}_i^\prime)/dV を持ち、その結果電場の微小要素は次のように表される。
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}^\prime) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
この式を積分すると、次のようになる。
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathcal{V}} \rho(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
ここで \mathcal{V} は帯電体の形状を記述する体積のパラメトリック表現である。
演習問題:
帯電棒
長さ L の棒が全体にわたり一様に電荷 Q を帯び、垂直に配置されているとする。棒の中心から水平方向に距離 x 離れた点における電場を求めよ。
帯電環
半径 R の環が一様に電荷 Q を帯び、xy 平面上に配置されているとする。環の中心から高さ z の点における電場を求めよ。
無限平面の帯電
無限に広がる平面が一様に表面電荷密度 \sigma を持つとする。平面から距離 L の点における電場を求めよ。