Die Auftriebskraft

Wenn wir über Auftrieb sprechen, denken wir zunächst daran, dass Objekte dazu neigen, weniger zu wiegen, wenn sie in eine Flüssigkeit eingetaucht sind. Zum Beispiel könnte ein Stein unter Wasser mit Mühe angehoben werden, während es außerhalb des Wassers nahezu unmöglich wäre, ihn zu bewegen. Dieses Phänomen wird durch das Auftreten einer Kraft erklärt, die als Auftrieb bezeichnet wird.

Wenn ein Objekt in eine Flüssigkeit eingetaucht wird, entsteht eine nach oben gerichtete Auftriebskraft, die dem Gewicht der vom eingetauchten Körper verdrängten Flüssigkeit entspricht. Daher scheinen alle Körper, die in eine Flüssigkeit eingetaucht sind, einen Teil ihres Gewichts zu verlieren, da ein Kraftunterschied zwischen den verschiedenen Regionen des Körpers in Abhängigkeit von seiner Tiefe besteht. Somit gilt für die Auftriebskraft:

F_{emp} = F_2 - F_1

Da P=F/A und P=\rho g h, können wir folgern, dass F=\rho g A h, wobei \rho die Dichte der Flüssigkeit, h die Tiefe, A die Fläche der Oberfläche ist, auf die der Druck wirkt, und g die Erdbeschleunigung. Damit ergeben sich die auf die obere und untere Fläche ausgeübten Kräfte zu:

F_1 = \rho g A h_1

F_2 = \rho g A h_2

Daraus folgt:

\begin{array}{rl} F_{\text{empuje}} &= \rho g A h_2 - \rho g A h_1 \\ \\ &=\rho g A \underbrace{h_2 - h_1}_{\Delta h} \\ \\ &= \rho gV \\ \\ & =\text{Gewicht des verdrängten Flüssigkeitsvolumens} \end{array}

Dies ist das, was als das Archimedische Prinzip bekannt ist.

BEISPIEL: Ein Felsblock von 70[kg] liegt auf dem Grund eines Sees. Wenn sein Volumen 3\cdot 10^4 [cm^3] beträgt, welche Kraft wird benötigt, um ihn anzuheben?

LÖSUNG:

Die Auftriebskraft auf den Felsblock ist gegeben durch:

\begin{array}{rl} F_{\text{empuje}} &= \rho_{\text{agua}} g V_{roca} \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9,81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 [cm^3] \\ \\ &= 10^3 \left[\dfrac{kg}{m^3}\right] \cdot 9,81\left[\dfrac{m}{s^2}\right] \cdot 3 \cdot 10^4 \left[\dfrac{m}{100}\right]^3 = 294[N] \end{array}

Während die Gewichtskraft des Felsblocks beträgt:

F_{\text{peso}} = m_{\text{roca}}g = 70[kg] \cdot 9.81 \left[\dfrac{m}{s^2}\right]=686[N]

Daher genügt zum Anheben des Felsblocks unter Wasser eine Kraft von F = 686[N] - 294[N] = 392[N]. Unter Wasser kann dieser Felsblock mit fast der Hälfte der Kraft gehoben werden, die man außerhalb des Wassers benötigen würde.

Die Auftriebskraft und das Archimedische Prinzip

Das Archimedische Prinzip hilft uns zu verstehen, warum manche Objekte schwimmen, wenn sie in bestimmte Flüssigkeiten eingetaucht werden. Zum Beispiel Holz im Wasser. Im Allgemeinen schwimmt ein Objekt in einer Flüssigkeit, wenn die Dichte des Mediums größer ist als die des Objekts, und es wird so lange schwimmen, bis es über die Oberfläche hinausragt. Der Körper steigt auf, bis er eine Gleichgewichtsposition erreicht. Wie können wir den Teil des Körpers berechnen, der über die Flüssigkeit hinausragt? Dies lässt sich leicht berechnen.

Wenn wir die Gewichtskraft mit der Auftriebskraft gleichsetzen, können wir berechnen, welcher Teil des Körpers über die Oberfläche hinausragt. Die Überlegung ist die folgende:

\begin{array}{rl} & F_{\text{peso}} = F_{\text{empuje}}\\ \\ \equiv & m_{\text{objeto}} g = m_{\text{sumergido}} g \\ \\ \equiv & \rho_{\text{objeto}}V_{\text{objeto}} g = \rho_{\text{sumergido}} V_{\text{sumergido}} g \\ \\ \equiv & \dfrac{\rho_{\text{objeto}}}{\rho_{\text{sumergido}}} = \dfrac{V_{\text{sumergido}}}{V_{\text{objeto}} } = \text{Prozentsatz des eingetauchten Körpers} \end{array}

BEISPIEL: Ein einfaches Modell nimmt an, dass ein Kontinent ein massiver Block aus Gestein ist (mit einer Dichte von =2800[kg/m^3]), der auf dem umgebenden Erdmantel schwimmt (mit einer Dichte von =3300[kg/m^3]). Angenommen, der Kontinent hat eine durchschnittliche Dicke von 35[km], berechnen Sie die mittlere Höhe, die über den Mantel hinausragt.

LÖSUNG:

Der Prozentsatz des eingetauchten Körpers beträgt:

Eingetauchter Prozentsatz \displaystyle = \frac{\rho_{cuerpo}}{\rho_{fluido}}

Daher beträgt der Prozentsatz des Körpers, der nicht eingetaucht ist und über den Mantel hinausragt:

Überragender Prozentsatz \displaystyle = 1 - \frac{\rho_{cuerpo}}{\rho_{fluido}} = 1 - \frac{2800}{3300} \approx 0,15 = 15\%

Da die durchschnittliche Dicke 35[km] beträgt, ragt im Durchschnitt 15\% 35[km]\approx 5,3 [km] heraus.