Gleichung der Hyperbeln und ihre Herleitung

Zusammenfassung:
In dieser Unterrichtseinheit werden wir die geometrische Definition der Hyperbel untersuchen, sie mit der Ellipse vergleichen und ihre allgemeine sowie kanonische Gleichung herleiten.

Lernziele:
Am Ende dieser Lektion wird der Studierende in der Lage sein:

Geometrisch zu definieren, was eine Hyperbel ist.
Die allgemeine und kanonische Gleichung der Hyperbeln aus ihrer geometrischen Definition herzuleiten.
Die Unterschiede zwischen Ellipsen und Hyperbeln hinsichtlich der Brennpunktabstände zu identifizieren.

INHALTSVERZEICHNIS
Geometrische Definition der Hyperbel
Herleitung der Gleichung der Hyperbeln
Allgemeine Gleichung der Hyperbeln
Kanonische Gleichung der Hyperbeln

Geometrische Definition der Hyperbel

Zuvor haben wir die Gleichung der Ellipsen und Kreise betrachtet und festgestellt, dass sie die Form $ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0$ besitzen, wobei $a$ und $c$ zwei von null verschiedene Zahlen mit gleichem Vorzeichen sind. Es wurde erwähnt, dass wenn $a$ und $c$ entgegengesetzte Vorzeichen haben, anstelle einer Ellipse eine Hyperbel entsteht. Darüber hinaus wurde bislang nichts gesagt – das werden wir nun nachholen. Wir vervollständigen unsere Untersuchung, indem wir definieren, was eine Hyperbel geometrisch ist, und leiten daraus die allgemeine und kanonische Gleichung der Hyperbeln ab.

Auf der einen Seite wird die Ellipse definiert als die Menge aller Punkte, deren Summe der Abstände zu zwei festen Punkten, den sogenannten Brennpunkten, konstant ist. Ähnlich, aber im Gegensatz dazu wird die Hyperbel definiert als die Menge aller Punkte, deren absoluter Unterschied der Abstände zu zwei Brennpunkten stets gleich groß ist.

Das bedeutet, es gilt die Beziehung:

$|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a$

Dabei ist $a$ eine beliebige feste reelle Zahl.

Dies führt tatsächlich zu zwei Gleichungen, nämlich: $d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a$ und $d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a$ , je eine für jeden Ast der Hyperbel.

Herleitung der Gleichung der Hyperbeln

Ausgehend von der geometrischen Definition ist es möglich, eine algebraische Darstellung der Hyperbeln zu erhalten. Dafür beginnen wir mit dem einfachsten Fall und erweitern daraus die Verallgemeinerungen. Unser Gedankengang bezieht sich auf einen einzelnen Ast der Hyperbel; für den anderen ist die Herleitung vollständig analog.

Herleitung der vereinfachten Form

Betrachten wir zwei Brennpunkte $f_1 = (-c,0)$ und $f_2 = (c,0).$ Der Punkt $p = (x,y)$ liegt auf der Hyperbel, wenn gilt:

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$

Und daraus ergibt sich folgender Gedankengang:

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$	; Gleichung der Hyperbeln
$\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a$	; Ausmultiplizieren der Quadrate
$\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; Umstellen der Terme
$\color{red}{x^2} + 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \color{red}{x^2} - 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2}$	; Quadrieren beider Seiten
$2xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc$	; Gleichartige Terme kürzen
$4xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; Gleichartige Terme umstellen
$xc = a^2 + a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; Gleichartige Terme vereinfachen
$xc - a^2 = a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; Gleichartige Terme vereinfachen
$x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2)$	; Erneutes Quadrieren
$x^2c^2 \color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2$	; Ausmultiplizieren der Klammern
$x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$	; Gleichartige Terme kürzen
$x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2)$	; Terme umgruppieren
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1$	; Terme umgruppieren

Für diesen letzten Ausdruck gilt – wie auch bei Ellipsen – die Definition $b^2=c^2-a^2$ , womit man zur Gleichung der Hyperbeln gelangt:

$\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 }$

Allgemeine Gleichung der Hyperbeln

Um die allgemeine Gleichung der Hyperbeln zu erhalten, genügt es, die zuvor hergeleitete Gleichung zu nehmen und Positionstransformationen anzuwenden:

x\longmapsto x-h

y\longmapsto y-k

Damit erhalten wir automatisch die allgemeine Gleichung der Hyperbeln mit Zentrum bei $(h,k)$

$\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 }$

Kanonische Gleichung der Hyperbeln

Und wenn wir nun die allgemeine Gleichung der Hyperbeln weiterentwickeln, gelangen wir zur kanonischen Darstellung:

$\displaystyle \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; Allgemeine Gleichung der Hyperbeln
$b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + y^2) = a^2b^2$	; Ausmultiplizieren der Quadrate und Multiplikation mit $a^2b^2$
$b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2$	; Klammern auflösen
$b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0$	; Gleichartige Terme zusammenfassen

Dies ist ein Ausdruck der Form $Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0,$ wobei $A$ und $C$ stets von null verschieden und entgegengesetzt im Vorzeichen sind – genau wie zuvor bei der Betrachtung der Ellipsen festgestellt.