1. Einführung

Das Studium algebraischer Funktionen beginnt mit der Einführung der Variablen: Symbole, die den Platz darstellen, an dem eine Zahl stehen kann. Traditionell verwendet man die Buchstaben x, y, z, um reelle Zahlen zu repräsentieren; in anderen Kontexten bevorzugt man z für komplexe Zahlen. Es ist auch üblich, Indizes zu verwenden, wenn die Variablen zahlreich sind. So sind x_1, x_2, \cdots , x_n ebenfalls Beispiele für Variablen.

Algebraische Funktionen sind grundlegend in verschiedenen Bereichen der Mathematik und deren Anwendungen. Diese Funktionen werden durch algebraische Ausdrücke definiert, die grundlegende Operationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzen und Wurzeln der Variablen enthalten. Das Verständnis algebraischer Funktionen ist essentiell für das Studium vieler Bereiche der reinen und angewandten Mathematik, einschließlich Algebra, Analysis, Geometrie und Zahlentheorie. Darüber hinaus sind sie in der Physik, der Ingenieurwissenschaft, der Ökonomie und den Sozialwissenschaften von großer Bedeutung, da sie es ermöglichen, reale Phänomene präzise und effizient zu modellieren und zu analysieren.

Im Bildungsbereich dienen algebraische Funktionen als solide Grundlage für die Entwicklung des abstrakten Denkens und der Problemlösungsfähigkeiten. Durch das Studium dieser Funktionen lernen die Studierenden, algebraische Ausdrücke zu manipulieren und die Beziehungen zwischen Variablen zu verstehen, was grundlegend ist, um in komplexere Mathematik voranzukommen.

Im Alltag werden algebraische Funktionen in einer Vielzahl praktischer Kontexte eingesetzt. Sie werden beispielsweise im Finanzwesen zur Berechnung von Zinsen und Tilgungen, in der Informatik zur Entwicklung von Algorithmen und im Ingenieurwesen zur Konstruktion von Strukturen und Systemen angewendet. Algebraische Funktionen sind auch in der Datenanalyse und der statistischen Modellierung unerlässlich, da sie helfen, beobachtete Daten zu interpretieren und Verhaltensweisen vorherzusagen.

Zusammenfassend ist das Studium algebraischer Funktionen nicht nur ein Eckpfeiler der Mathematik, sondern hat auch ein breites Spektrum praktischer Anwendungen, die ihre Relevanz und Nützlichkeit in der modernen Welt unterstreichen. Mit einem soliden Verständnis dieser Funktionen können komplexe Probleme angegangen und innovative Lösungen in verschiedenen Bereichen entwickelt werden.

2. Was sind algebraische Funktionen?

Algebraische Funktionen sind eine besondere Art von Funktion. Eine Funktion ist ein Zuordnungsgesetz zwischen zwei Mengen, das wir durch die Schreibweise darstellen:

f: A\longmapsto B

Dabei ist A die Eingabemenge und B die Ausgabemenge.

Jede Funktion f besitzt außerdem einen Definitionsbereich (Dom(f)) und einen Wertebereich (Rec(f)). Der Definitionsbereich ist die Menge aller Eingabewerte, für die die Funktion ein gültiges Ergebnis liefert; der Wertebereich ist die Menge aller möglichen Ausgabewerte der Funktion. Der Wertebereich wird auch Bild genannt und der Definitionsbereich Urbild. Bei der Definition einer Funktion ist es manchmal üblich, eine der folgenden beiden Formen zu schreiben:

f: Dom(f)\subseteq A\longmapsto Rec(f)\subseteq B

f: Dom(f)\ \longmapsto Rec(f)

Algebraische Funktionen sind also diejenigen, die in Form der algebraischen Operationen ihrer Variablen geschrieben werden, wie Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenz und Hauptwurzel. Man sagt außerdem, dass eine Funktion eine reelle Variable hat, wenn erwartet wird, dass ihre Variablen durch reelle Zahlen ersetzt werden, eine komplexe Variable, wenn erwartet wird, dass sie durch komplexe Zahlen ersetzt werden, und entsprechend mit jeder anderen Zahlenmenge. Es gibt auch Funktionen mit einer, zwei, drei oder mehreren Variablen, je nachdem, ob sie eine, zwei, drei oder viele Variablen besitzen.

2.1. Beispiele algebraischer Funktionen

1. Betrachten wir die folgende Funktion

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \longmapsto & f(x) =x^3 + 5x + \displaystyle \frac{6}{\sqrt{x}} \\ \end{matrix}

   Dies ist eine algebraische Funktion einer reellen Variablen. Hier können wir direkt sehen, dass

   Dom(f) = \{x\in\mathbb{R}\;|\; x\gt 0\} = ]0, +\infty[

   Dies liegt daran, dass es keine Divisionen durch Null gibt und die Hauptwurzel nur für positive reelle Zahlen definiert ist.

2. Betrachten wir nun die folgende Funktion

   \begin{matrix} f : & \mathbb{R}^2 & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ & (x,y) & \longmapsto & f(x,y) =\displaystyle \frac{2xy + \frac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}} \\ \end{matrix}

   Dies ist eine Funktion von zwei reellen Variablen, die als Ergebnis eine reelle Zahl liefert. Dies wird auch als Skalarfeld bezeichnet. Diese Art von Funktionen geht ebenfalls über den Rahmen dieses Kurses hinaus, ist aber in der Physik sehr nützlich, um Größen wie Temperatur oder Dichteverteilungen zu beschreiben. Der Definitionsbereich dieser Funktion kann ebenfalls „auf einen Blick“ gesehen werden.

   Dom(f) = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\;|\; x \neq 0 \wedge y\neq 1 \}

2.2. Anmerkungen zum Graphen und zum Wertebereich

Den Wertebereich zu bestimmen ist in der Regel kompliziert. Später werden wir Techniken kennenlernen, die uns dies auch in Fällen, in denen es algebraisch unmöglich erscheint, erleichtern. Dennoch wird es trotz dieser Methoden Probleme geben, weil in manchen Fällen Techniken erforderlich sind, die über den Rahmen dieses Kurses hinausgehen, wie die Berechnung kritischer Punkte zur Identifikation von Maxima und Minima in der Differentialrechnung. Dennoch gibt es auch ohne Analysis vieles zu tun, und diese Dinge werden wir zu gegebener Zeit behandeln.

Wenn du trotzdem daran interessiert bist, den Wertebereich und den Graphen dieser Funktionen zu kennen, kannst du jederzeit Wolfram Alpha nutzen. Geh auf https://www.wolframalpha.com/ und probiere aus, indem du dies kopierst und einfügst:

x^3 + 5x + \dfrac{6}{\sqrt{x}}

um eine Vorstellung vom ersten Beispiel zu bekommen. Für das zweite Beispiel kopiere und füge Folgendes ein:

\dfrac{2xy + \dfrac{3}{x^2}}{\sqrt[3]{y-1}}

3. Andere Arten von Funktionen

Die Funktionen, die wir in diesem Kurs studieren, lassen sich in zwei Arten unterteilen: Algebraische Funktionen und transzendente Funktionen. Die algebraischen, wie wir gesehen haben, sind diejenigen, die sich in Form der grundlegenden Operationen schreiben lassen; transzendente Funktionen hingegen können nicht auf diese Weise geschrieben werden oder erfordern Ausdrücke, die aus unendlichen Operationen bestehen. Die algebraischen Funktionen können ihrerseits in zwei Arten unterteilt werden: polynomial und nicht polynomial. Eine polynomielle Funktion ist jede Funktion, die als Summe oder Differenz von Potenzen geschrieben werden kann. Etwa in folgender Form:

\displaystyle P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n

Jede Funktion, die nicht von dieser Form ist, ist nicht polynomial. Unter den nicht polynominalen Funktionen sind insbesondere die rationalen Funktionen hervorzuheben, die diejenigen sind, die als Quotient zweier polynomieller Funktionen geschrieben werden können.