Quamvis operationes cum numeris naturalibus notae sint, necesse est hoc scientiam modis paulo magis mathematicis recensere. Propter hoc revisionem faciemus operationum additionis, multiplicationis et potentiationis numerorum naturalium earumque proprietatum.

Origo Operationum Fundamentalium Numerorum Naturalium

Operatio Additionis

Germen operationis additionis recensuimus in lectione de Numeris Naturalibus et Axiomatibus Peano, quia successor naturalis etiam sic exhiberi potest:

S(n) = n+1

Cum diximus 2=S(1), 3=S(2), 4=S(3), \cdots et sic porro, tunc summam interpretari possumus ut applicationem iteratam operationis successionis.

n+1 =S(n),

n+2 =S(S(n)),

n+3 =S(S(S(n))),

\vdots

Et generatim:

n+m = \underbrace{S(S(\cdots S(}_{m\;veces} n)\cdots))

Proprietates Additionis

Si a,b,c\in\mathbb{N}, tunc ex hoc consequi possumus proprietates additionis quas omnes novimus:

Omnes hae proprietates per inductionem demonstrari possunt sed hoc laborem praetermittemus. Attamen te hortor ut id coneris tamquam modum exercendi technicam inductionis.

Operatio Multiplicationis

Simili modo, productus numerorum naturalium tamquam applicatio successiva additionis definitur. Habemus igitur

n\cdot m = \underbrace{n+ n+ \cdots + n}_{m\;veces}

Proprietates Multiplicationis

Et similiter proprietates eius elici possunt

Et praeterea, ex definitione multiplicationis fit ut “1” numerorum naturalium proprium obtineat quod eum in unitatem convertat:

Suma y Producto Combinados

Cum operationes additionis et multiplicationis combinantur, proprietatem distributionis additionis respectu multiplicationis obtinetur

Ordo ab Operationibus Numerorum Naturalium Inductus

Ex operibus additionis et multiplicationis quae recensuimus inducitur in numeris naturalibus relatio ordinis per sequentes definitiones:

Proprietates Ordinis in Numeris Naturalibus

Lex Trichotomiae

Ex hoc sequitur quod una et sola ex tribus sequentibus condicionibus accidere potest:

1. a\lt b
2. a = b
3. a\gt b

Si accideret, exempli gratia, a non esse minorem quam b, tunc una ex duabus contingere deberet: vel a=b, vel a\gt b, id est maior sive aequalis, quod scribitur: a\geq b.. Eodem modo scribitur a\leq b. cum minor sive aequalis est.

Proprietas Transitivitatis

Si a,b et c numeri naturales quilibet sunt, tunc valet:

[(a\lt b) \wedge (b\lt c)] \rightarrow (a\lt c)

Et similiter:

[(a\gt b) \wedge (b\gt c)] \rightarrow (a\gt c)

Proprietas Monotoniae

Exstat proprietas monotoniae tam pro additione quam pro multiplicatione, quae est:

Operationes Inversae: Subtractio et Divisio Numerorum Naturalium

Subtractio Numerorum Naturalium

Si a,b,c\in\mathbb{N}, dicimus differentiam inter a et b (hoc ordine), scriptam a-b, definiri per relationem

a-b=c \leftrightarrow a= b+c

Ut videre licet, talis relatio vera erit solum si a\gt b, quia nullus c\in \mathbb{N} est quo hac relatione satisfieri possit, si a\leq b.

Per definitionem subtractionis habemus notam regulam de “quod ad unam partem aequationis additur, ad alteram transire potest subtractum, et vice versa”.

Divisio Numerorum Naturalium

Si a,b,c\in\mathbb{N}, dicimus quod divisio inter a et b (hoc ordine), scripta a/b, definiri per relationem

a/b=c \leftrightarrow a= bc

Ex definitione divisionis habemus regulam, “quod ad unam partem aequationis multiplicatur, ad alteram transire potest dividendo, et converso”.

Sicut, ut subtractio a - b exsistat, requiritur ut a\gt b, sic etiam ut divisio a/b exsistat, necesse est a “divisibilis” esse per b. Hoc ita repraesentamus scribendo

a divisibilis est per b \; :=a|b \; := \; (\exists k \in \mathbb{N})(a = kb)

Potentiae Numerorum Naturalium

Cum numeris naturalibus potentiae definiri possunt. Elevare naturalem b, quem basim appellamus, ad alium naturalem n, quem exponentem dicimus, significat n vicibus b multiplicare. Ita

b^n = \underbrace{bb\cdots b}_{n\;veces}

Si a,b,n,m\in\mathbb{N}, per inductionem (duplicem) demonstrare possumus sequentes proprietates:

1. \displaystyle b^nb^m=b^{n+m}
2. \displaystyle \frac{b^n}{b^m} = b^{n-m}, dum n\lt m
3. \displaystyle (ab)^n=a^nb^n
4. \displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}
5. \displaystyle (b^n)^m=b^{nm}

Problemata Proposita et Soluta

1. Omnes proprietates quae hic ostensae sunt per inductionem mathematicam (simplicem sive duplicem) demonstrari possunt, sed eas non evolvi quia demonstratio resultans nimis longa est pro talibus resultatibus intuitive. Tamen, qui has lectiones sequitur, conari potest tales demonstrationes facere ut exercitium. [Propositum tantum]
2. Num idem est b^{n^m} (quod definitur ut b^{(n^m)}) ac (b^n)^m? [Solutio]
3. Proprietatibus visis utendo, aequationes has verificare:
   a) (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd [Solutio]
   
   b) (a+b)(c-d) = ac-ad+bc-bd,; si c\gt d [Solutio]
   
   c)(a-b)(c-d) = ac-ad-bc+bd,; si a\gt b, c\gt d [Solutio] 
4. Demonstrandum est
   
   a) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 [Solutio]
   
   b) (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2; si c\gt d [Solutio]
   
   c) (a+b)(a-b) = a^2-b^2; si c\gt d [Solutio]
   
   d) (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b+3ab^2+b^3 [Solutio]
   
   e) (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b+3ab^2-b^3; si c\gt d [Solutio]

    

5. Pro inductione completa haec proprietates probare:
   
   a) 1+2+3+4+\cdots+n = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} [Solutio]
   
   b) 1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} [Solutio]
   
   c) 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots+n^3 = \displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4} [Solutio]