Reflexion an ebenen und sphärischen Spiegeln

Zusammenfassung:
In dieser Unterrichtseinheit werden wir die grundlegenden Prinzipien der geometrischen Optik untersuchen, wobei wir uns auf die Reflexion an ebenen und sphärischen Spiegeln konzentrieren. Dabei werden Schlüsselbegriffe wie Lichtstrahl, Punktobjekt und Punktbild definiert. Außerdem behandelt sie die Vorzeichenregel für Spiegel und die Descartes’sche Beziehung zur Berechnung der Bildposition. Es werden zudem die Eigenschaften konkaver und konvexer Spiegel untersucht und wie sie die Entstehung realer und virtueller Bilder beeinflussen. Abschließend wird der Vergrößerungsfaktor eingeführt, um die Veränderung von Größe und Orientierung des Bildes gegenüber dem ursprünglichen Objekt zu beschreiben.

Lernziele
Am Ende des Kurses wird der Studierende in der Lage sein

1. Die geometrische Optik zu verstehen als eine Vereinfachung der elektromagnetischen Optik, die das Verständnis der Bildentstehung durch Geometrie und Analysis erleichtert.
2. Die Gesetze der Reflexion und Brechung zu verstehen sowie deren Anwendung bei der Bildentstehung mit Spiegeln und Linsen.
3. Wichtige Konzepte zu verstehen und zu unterscheiden wie Lichtstrahl, projizierter Strahl, Punktobjekt und Punktbild.
4. Die Vorzeichenregel für Spiegel anzuwenden um die Position von Objekten und Bildern zu bestimmen.
5. Die Bildentstehung an ebenen Spiegeln zu analysieren und dabei die Symmetrie und den virtuellen Charakter der Bilder hervorzuheben.

Inhaltsverzeichnis
Grundideen der geometrischen Optik
Definitionen
Vorzeichenregel für Spiegel
Ebene Spiegel und Spiegelreflexion
Punktobjekt vor einem ebenen Spiegel
Ausgedehntes Objekt vor einem ebenen Spiegel
Reflexion an sphärischen Spiegeln
Beziehung zwischen Objektposition und Bildposition bei einem sphärischen Spiegel
Grenzfall, wenn s\to +\infty
Reflexion ausgedehnter Objekte an sphärischen Spiegeln
Konkave und konvexe Spiegel
Der Vergrößerungsfaktor und seine Interpretation

Grundideen der geometrischen Optik

Die geometrische Optik ist eine Vereinfachung der elektromagnetischen Optik, die es ermöglicht, die Bildentstehung und ihre Eigenschaften leicht zu verstehen. Durch Geometrie und Analysis lassen sich die Brechungs- und Reflexionsgesetze ableiten, die das Verständnis der Bildentstehung mit Spiegeln und Linsen erlauben. In diesem ersten Abschnitt werden wir die grundlegenden Konzepte der geometrischen Optik und die Reflexion an ebenen und sphärischen Spiegeln untersuchen.

Um diese Ideen anzugehen und Schlussfolgerungen zu ziehen, werden wir zunächst einige Schlüsselbegriffe definieren:

Definitionen

Lichtstrahl	Dies ist die gedachte Linie, die den Ausbreitungsverlauf des Lichts repräsentiert. Wenn die Quelle ein Punktobjekt ist, geht von ihr Licht in Form sphärischer (elektromagnetischer) Wellen aus; Lichtstrahlen haben folglich die Richtung des Energieflusses oder, wenn man will, die Richtung des Poynting-Vektors.
Projizierter Strahl	Imaginäre Linie, die die Fortsetzung eines Lichtstrahls darstellt.
Punktobjekt oder Punktquelle	Punkt im Raum, von dem Lichtstrahlen ausgehen, entweder eigenständig oder reflektiert. Das Objekt kann punktförmig oder ausgedehnt sein; wenn es punktförmig ist, hat es keine Gestalt, sondern nur eine Position; wenn es ausgedehnt ist, besitzt es ein endliches, nicht nulles Volumen und eine umgebende Oberfläche.
Punktbild	Ort im Raum, an dem sich Lichtstrahlen oder projizierte Strahlen schneiden.
Reflexion	Vorgang, bei dem Lichtstrahlen ihre Richtung ändern, wenn sie auf eine reflektierende Oberfläche treffen.
Brechung	Vorgang, bei dem Lichtstrahlen beim Übergang von einem Medium in ein anderes Richtung und Geschwindigkeit ändern.

Vorzeichenregel für Spiegel

Ein nützliches Konzept zur Systematisierung der geometrischen Optik ist die Vorzeichenregel, die im Folgenden eingeführt wird:

• Objektposition: Befindet sich das Objekt auf der Seite, von der das Licht auf die reflektierende Oberfläche fällt, so ist der der Position s zugeordnete Wert positiv, andernfalls negativ.
• Bildposition: Befindet sich das Bild auf der Seite, von der das Licht die reflektierende Oberfläche verlässt, ist die der Position s^\prime zugeordnete Größe positiv, andernfalls negativ.

Bei einem ebenen Spiegel gilt stets die Gleichung s=-s^\prime.

Ebene Spiegel und Spiegelreflexion

Die einfachste Art einer reflektierenden Oberfläche ist der ebene Spiegel. Bei diesen wird beobachtet, dass jeder Strahl, der mit einem Winkel \theta zur Normalen des Spiegels einfällt, mit einem Winkel \theta^\prime =\theta. reflektiert wird. Deshalb erscheint einem Beobachter, der den reflektierten Strahl sieht, das reflektierte Objekt so, als befinde es sich hinter dem Spiegel.

Punktobjekt vor einem ebenen Spiegel

Das Bild, das an einem ebenen Spiegel entsteht, ist symmetrisch und virtuell. Symmetrisch bedeutet, dass der Abstand zwischen Objekt und Spiegel derselbe ist wie zwischen Bild und Spiegel, und virtuell bedeutet, dass das Bild „hinter dem Spiegel“ liegt.

Ausgedehntes Objekt vor einem ebenen Spiegel

Wenn ein Beobachter das ausgedehnte Objekt und den Spiegel ignorieren würde, würde er die reflektierten Strahlen so deuten, als kämen sie vom Bild, als wäre das Bild ein reales Objekt.

Reflexion an sphärischen Spiegeln

Beziehung zwischen der Position des Objekts und des Bildes bei einem sphärischen Spiegel

Betrachten wir einen sphärischen Spiegel mit einem Krümmungsradius r. Wenn wir ein Objekt in einer Entfernung s vom Scheitelpunkt platzieren, erscheint ein Bild im Punkt s^\prime, wie in der Abbildung gezeigt:

Da die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks \pi[rad], beträgt, gilt:

\begin{array}{lr} \phi + \theta + \pi - \beta =\pi\; &\Longrightarrow {\beta = \phi + \theta}\\ \\ \alpha + \theta + \pi - \phi =\pi\; &\Longrightarrow {\theta = \phi - \alpha} \end{array}

Daraus folgt \beta = 2\phi - \alpha und daher

\color{blue}{\alpha + \beta = 2\phi}.

Mit diesen Informationen lässt sich eine Beziehung zwischen den Positionen s und s^\prime des Objekts und des Bildes herleiten. Dazu beobachtet man, dass:

\begin{array}{rl} \tan(\alpha) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \\ \\ \tan(\beta) &\displaystyle = \frac{h}{s^\prime - \delta} \\ \\ \tan(\phi) &\displaystyle = \frac{h}{s - \delta} \end{array}

Wenn nun das Objekt weit genug vom Spiegel entfernt ist oder der Krümmungsradius groß genug ist, kann man annehmen, dass die Winkel \alpha, \beta und \phi nahe bei Null liegen; unter dieser Annahme gelten die folgenden Näherungen:

\begin{array}{rl} \delta & \approx 0 \\ \\ \alpha &\displaystyle \approx \tan(\alpha) \approx \frac{h}{s} \\ \\ \beta &\displaystyle \approx \tan(\beta) \approx \frac{h}{s^\prime} \\ \\ \phi &\displaystyle \approx \tan(\phi) \approx \frac{h}{r} \end{array}

Unter Verwendung dieser Näherungen in der hervorgehobenen Gleichung erhält man:

\displaystyle \frac{h}{s}+\frac{h}{s^\prime}\approx\frac{2h}{r}

Schließlich, nachdem man die h kürzt und \displaystyle f = \frac{r}{2} setzt, ergibt sich

\displaystyle\color{blue}{\frac{1}{s}+\frac{1}{s^\prime}\approx\frac{1}{f}}

Dies ist die sogenannte „Descartes-Beziehung“ für sphärische Spiegel mit kleiner Öffnung, wobei der Wert f dem Brennpunkt der Linse entspricht.

Grenzfall, wenn s\to+\infty

Wenn wir den Wert von s^\prime berechnen und den Grenzwert für s\to+\infty, ermitteln, erhalten wir:

\displaystyle s^\prime = \frac{1}{\frac{1}{f}-\frac{1}{s}} =\frac{sf}{s-f}

\displaystyle\lim_{s\to +\infty}s^\prime = \lim_{s\to +\infty}\frac{sf}{s-f}=f

Mit anderen Worten, wenn die Quelle sehr weit entfernt ist, verläuft der von ihr ausgehende und den Spiegel treffende Strahl nahezu horizontal und wird beim Spiegeln durch den Brennpunkt gehen, wie in der Abbildung gezeigt:

Reflexion ausgedehnter Objekte an sphärischen Spiegeln

Die bisher besprochenen Ergebnisse ermöglichen es uns, geometrisch den Ort zu finden, an dem das Bild eines Objekts entsteht, wenn das von ihm emittierte oder reflektierte Licht an einem sphärischen Spiegel reflektiert wird. Dazu reicht es aus zu beachten, dass alle horizontalen Strahlen durch den Brennpunkt reflektiert werden, dass alle Strahlen, die durch den Brennpunkt gehen, horizontal reflektiert werden und dass sich der Spiegel lokal (an dem Punkt, an dem der Strahl den sphärischen Spiegel trifft) wie ein ebener Spiegel verhält, so dass der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel ist.

Jeder Punkt des ausgedehnten Objekts sendet Lichtstrahlen aus, die, nachdem sie vom Spiegel reflektiert wurden, sich im entsprechenden Punkt des Bildes schneiden.

Konkave und konvexe Spiegel

Die sphärischen Spiegel, die wir bisher betrachtet haben, sind alles Beispiele für konkave Spiegel. Bei diesen liegt die Krümmung auf der Seite, von der die Lichtstrahlen kommen. Wenn die Krümmung zur gegenüberliegenden Seite orientiert ist, spricht man von einem konvexen Spiegel. Analysiert man geometrisch die Bildentstehung an dieser Art von Spiegeln, bemerkt man zunächst, dass die reflektierten Strahlen nicht in einem Punkt zusammenlaufen, sondern sich zerstreuen; um den Ort zu finden, an dem das Bild entsteht, müssen daher die reflektierten Strahlen zurückverlängert werden, um so ein virtuelles Bild zu erhalten.

An dieser Stelle müssen die folgenden Begriffe berücksichtigt werden:

• Reales Bild: Ein Bild ist real, wenn es durch die reflektierten Strahlen gebildet wird und sich daher vor dem Spiegel befindet.
• Virtuelles Bild: Ein Bild ist virtuell, wenn es durch die verlängerten Strahlen gebildet wird und daher „hinter dem Spiegel“ liegt.

Der Vergrößerungsfaktor und seine Interpretation

Wie wir in den vorherigen Abbildungen sehen konnten, kann sich bei der Reflexion an sphärischen, konkaven oder konvexen Spiegeln das Bild in Größe oder Orientierung im Vergleich zum ursprünglichen Objekt verändern. Daraus stellt sich die Frage: Gibt es eine Möglichkeit, diese Vergrößerung oder Verkleinerung sowie die Orientierungsänderung des Bildes zu modellieren? Die Antwort lautet ja, und sie lässt sich aus den Ähnlichkeitsbeziehungen von Dreiecken in den zuvor betrachteten Abbildungen ableiten. Im Folgenden wird die Analyse für einen konkaven Spiegel dargestellt; bei konvexen Spiegeln ist die Argumentation analog. Um jeden Schritt korrekt nachzuvollziehen, sollte man sich an die Vorzeichenregel für Spiegel erinnern, die wir zu Beginn behandelt haben.

Da die blauen und grünen Dreiecke ähnlich sind, ergibt sich, dass der Vergrößerungsfaktor m=y^\prime/y, der angibt, um wie viel das reflektierte Bild relativ zur Größe des ursprünglichen Objekts wächst, durch die folgende Beziehung berechnet werden kann:

\displaystyle \frac{y}{s} = \frac{-y^\prime}{s^\prime}

Hier erhält y^\prime ein Minuszeichen, weil das Bild nach unten orientiert ist (es ist invertiert), und nach der Vorzeichenregel für Spiegel sind s und s^\prime beide positiv. Folglich gilt:

\displaystyle \color{blue}{m=\frac{y^\prime}{y} = - \frac{s^\prime}{s}}

Das heißt, wenn die Positionen von Objekt und Bild bekannt sind, kann der Vergrößerungsfaktor des Spiegels berechnet werden.

Diese Formel kann mit der Descartes’schen Beziehung kombiniert werden, um den Vergrößerungsfaktor aus dem Brennpunkt und der Position des Objekts zu berechnen. Man muss sich nur daran erinnern, dass

\displaystyle s^\prime=\frac{sf}{s-f}.

und damit ergibt sich:

\displaystyle \color{blue}{m= - \frac{1}{s}\frac{sf}{s-f} = \frac{f}{f-s}}

Daraus ergibt sich, dass:

• Wenn |m|\lt 1, schrumpft das Bild; wenn |m|\gt 1, wächst es; und wenn |m|=1,, bleibt seine Größe erhalten.
• Wenn m\gt 0, behält das Bild die Orientierung des ursprünglichen Objekts; und wenn m\lt 0, wird das Bild gegenüber dem ursprünglichen Objekt invertiert.
• Das Bild reduziert sich auf einen Punkt, wenn m=0.