O Modelo Binomial de um Período e a Condição de Não-Arbitragem

Resumo:
Imagine um cassino onde você pode apostar em um jogo onde, independentemente do resultado, sempre ganha dinheiro. Parece bom demais para ser verdade, certo? Nos mercados financeiros, essas oportunidades surgem devido à possibilidade de realizar arbitragem; no entanto, são rapidamente eliminadas pela ação dos próprios participantes do mercado. Nesta aula, exploramos o modelo binomial de um período e a condição de não-arbitragem, analisando como os preços dos ativos, as taxas de juros e as estratégias de investimento eliminam a possibilidade de obter ganhos sem risco. Através de exemplos detalhados e de uma demonstração matemática rigorosa, revelaremos os princípios fundamentais que sustentam a estabilidade financeira e por que detectar uma oportunidade de arbitragem é apenas o começo de uma história muito mais complexa.

Objetivos de Aprendizagem
Ao finalizar esta aula, o estudante será capaz de:

1. Compreender o modelo binomial de um período e sua aplicação na avaliação de ativos financeiros.
2. Identificar os elementos fundamentais do modelo binomial de um período: ativo subjacente, fatores de crescimento e decréscimo, e ativo livre de risco.
3. Compreender a construção e a função de uma carteira autofinanciada no modelo binomial.
4. Compreender a condição de não-arbitragem nos mercados financeiros e como esta evita a possibilidade de obter ganhos sem risco por meio de portfólios autofinanciados.
5. Avaliar a existência de oportunidades de arbitragem em um mercado analisando a condição de não-arbitragem.
6. Analisar como a arbitragem afeta os preços dos ativos e provoca ajustes no mercado.
7. Descrever o efeito da taxa de empréstimo de ações na estratégia de arbitragem e na condição de não-arbitragem.
8. Explicar por meio de modelos matemáticos como ocorre o reajuste do mercado após o surgimento de oportunidades de arbitragem.
9. Compreender a prova formal do teorema da condição de não-arbitragem.

ÍNDICE DE CONTEÚDOS
O que é o modelo binomial de um período?
Como reconhecer um mercado com oportunidades de arbitragem e sua rápida desintegração
Demonstração do Teorema da Condição de Não-Arbitragem
Conclusão

O que é o modelo binomial de um período?

O modelo binomial de um período é um modelo matemático utilizado em finanças para descrever a evolução do preço de um ativo em um intervalo de tempo discreto. Ele é chamado de “binomial” porque, em cada período de tempo, o preço do ativo só pode se mover em duas direções possíveis: subir ou descer. Este modelo é amplamente utilizado na precificação de derivativos financeiros, especialmente opções, e é a base do modelo binomial de múltiplos períodos.

Elementos do modelo

O modelo binomial de um período é baseado nos seguintes elementos fundamentais:

• Um ativo subjacente: Representado por seu preço S(t) no tempo t. No momento inicial t=0, o preço do ativo é S(0). No tempo t=1, seu preço pode assumir um de dois valores possíveis, denotados como S(1,\text{sobe}) (preço se subir) ou S(1,\text{desce}) (preço se descer):

  S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sobe}) = S(0) u, & \text{com probabilidade } p, \\ S(1,\text{desce}) = S(0) d, & \text{com probabilidade } 1 - p. \end{cases}

  Onde os coeficientes u e d representam os fatores de incremento e decremento do preço que satisfazem a relação:

  0\lt d \lt 1 \lt u.

  Essa relação também assegura que os preços futuros sejam estritamente positivos, conforme estabelecem as suposições elementares do modelo simples de mercado.

• Probabilidades: Assume-se que a probabilidade de o ativo subir é p e a probabilidade de ele descer é 1 - p, com 0 \lt p \lt 1. Essa restrição garante que ambos os movimentos do ativo sejam possíveis e evita situações determinísticas em que o preço sempre sobe ou sempre desce, o que invalidaria o modelo binomial e criaria oportunidades de arbitragem.
• Um ativo livre de risco: Introduz-se um título ou instrumento financeiro cujo valor cresce de maneira previsível com uma taxa de juros livre de risco r. Seu preço no período seguinte é A(1) = A(0)(1+r).

Teorema: Condição de Não-Arbitragem em um Modelo Binomial de um Período

Seja um ativo cujo preço inicial é S(0) \gt 0 e cujo valor no tempo t=1 segue a estrutura binomial descrita anteriormente. Suponhamos que existe um ativo livre de risco (título) com preço A(1) = A(0)(1+r), onde r é a taxa livre de risco. Então, o mercado é livre de arbitragem se e somente se os fatores de crescimento e decréscimo satisfazem a seguinte condição:

0 \lt d \lt 1 + r \lt u

Em um mercado livre de arbitragem, não é possível construir uma carteira autofinanciada que gere ganhos sem risco.

O que é uma carteira autofinanciada?

Uma carteira autofinanciada é uma estratégia de investimento na qual não se requer capital adicional, pois qualquer compra de ativos é financiada com a venda de outros dentro da mesma carteira. Em outras palavras, não são injetados fundos externos para implementá-la.

Se em um mercado for possível construir uma carteira autofinanciada que garanta um lucro em todos os cenários possíveis, então existe uma oportunidade de arbitragem. A condição de não-arbitragem implica que não é possível construir esse tipo de carteira.

Matematicamente, uma carteira autofinanciada é construída da seguinte forma:

• Posição no ativo de risco: Compram-se ou vendem-se a descoberto x unidades do ativo cujo preço inicial é S(0).
• Posição no ativo livre de risco: Investe-se ou toma-se emprestado um montante y em um título com preço A(0) e taxa livre de risco r.
• Condição de autofinanciamento: Deve-se satisfazer a equação:

V(0) = x S(0) + y A(0) = 0.

• Avaliação no período seguinte: Em t = 1, o valor da carteira é:

V(1) = \begin{cases} x S(1,\text{sobe}) + y A(1), & \text{se o preço subir}, \\ x S(1,\text{desce}) + y A(1), & \text{se o preço descer}. \end{cases}

Se existir uma combinação de x e y tal que V(1) \geq 0 em ambos os cenários e V(1) \gt 0 em pelo menos um, então foi encontrada uma oportunidade de arbitragem.

Como reconhecer um mercado sem oportunidades de arbitragem usando o teorema?

Suponhamos que um ativo tenha um preço inicial de S(0) = 100 dólares e, no período seguinte, seu preço possa ser:

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sobe}) = S(0) u = 120, & \text{se o preço subir}, \\ S(1,\text{desce}) = S(0) d = 90, & \text{se o preço descer}. \end{cases}

Enquanto isso, um título cresce de A(0) = 100 para A(1) = 105, com r = 5\%. Com base nisso, verificamos se é possível uma arbitragem simplesmente conferindo a condição de não-arbitragem:

0 \lt d \lt 1+r\lt u.

A partir dos dados, temos que:

0 \lt 0.9 \lt 1.05 \lt 1.2

Como a desigualdade se mantém, não é possível construir uma carteira autofinanciada com ganhos garantidos, assegurando a coerência do modelo binomial.

Como reconhecer um mercado com oportunidades de arbitragem e sua rápida desintegração

Consideremos um ativo cujo preço inicial é S(0) = 100 dólares. No período seguinte, seu preço pode evoluir da seguinte forma:

S(1) = \begin{cases} S(1,\text{sobe}) = S(0) u = 105.2, & \text{se o preço subir}, \\ S(1,\text{desce}) = S(0) d = 82, & \text{se o preço descer}. \end{cases}

O preço do ativo livre de risco é A(0) = 100, e no período seguinte cresce para A(1) = 107, com uma taxa livre de risco de r = 7\%.

Verificamos a condição de não-arbitragem:

0 \lt 0.82 \lt 1.07 \not\lt 1.052

Como a desigualdade 1+r \lt u não se cumpre, então é possível realizar arbitragem neste mercado. Para verificar isso, construiremos uma carteira autofinanciada a partir do seguinte processo:

• Realiza-se uma venda a descoberto de uma ação: O ativo de risco é vendido a descoberto por S(0) = 100, o que significa que o investidor deve tomar emprestada uma ação para vendê-la no mercado.
• Investimento no ativo livre de risco: Os 100 dólares obtidos são investidos em títulos.
• Recompra da ação no período seguinte:
  • Se o preço cair para 82, o lucro líquido será 107 - 82 = 25.
  • Se o preço subir para 105.2, o lucro líquido será 107 - 105.2 = 1.8.

Em ambos os casos, o investidor obtém ganhos garantidos, confirmando a existência de arbitragem.

📌 Ajustes do Mercado diante de uma Estratégia de Arbitragem

No entanto, em um mercado eficiente, essas oportunidades não persistem. À medida que mais investidores detectam essa ineficiência, começam a executar estratégias de arbitragem por meio de vendas a descoberto, o que provoca vários efeitos importantes:

• Aumento na oferta do ativo de risco: A venda a descoberto implica que muitos investidores tomam emprestadas e vendem ações no mercado, aumentando a oferta de ações disponíveis. Esse aumento na oferta gera pressão de baixa sobre o preço inicial S(0).
• Ajuste nos preços futuros do ativo: Como S(1, \text{sobe}) = S(0) u e S(1, \text{desce}) = S(0) d, a queda de S(0) provoca um reajuste dos valores de u e d, afetando a relação com a taxa livre de risco 1 + r. Isso tende a restaurar a condição de não-arbitragem.
• Impacto no preço do título: À medida que os investidores usam os fundos obtidos da venda a descoberto para investir em títulos, a demanda por esses aumenta. Isso gera um aumento no preço presente do título A(0). Como o valor futuro do título permanece A(1) = 107, isso reduz a rentabilidade efetiva do investimento em títulos, ajustando o rendimento do ativo livre de risco.
• Custo da venda a descoberto: Os investidores que tomam emprestadas ações para vendê-las a descoberto devem pagar uma taxa de empréstimo de ações r_s. Essa taxa representa um custo adicional, o que pode reduzir os lucros líquidos da arbitragem.

📌 Como a taxa de empréstimo de ações afeta a arbitragem?

Se a taxa de empréstimo de ações r_s for alta, ela pode reduzir ou até mesmo eliminar o lucro líquido da arbitragem. A equação corrigida para o valor final da estratégia de arbitragem é:

V(1) = A(0)(1 + r - r_s) - S(1)

Onde:

• r_s é a taxa de empréstimo de ações.
• A(0)(1+r) representa o investimento no título.
• S(1) é o custo de recompra da ação no final do período.

Incorporando a taxa r_s do empréstimo de ações, a condição de Não-Arbitragem se ajusta da seguinte maneira:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

Para este caso específico, os valores de r_s que satisfazem a relação são:

0 \lt 0.82 \lt 1.07 - r_s \lt 1.052

Isso implica que:

• Se 0 \leq r_s \lt 0.018: A oportunidade de arbitragem persiste, pois o lucro continua positivo em ambos os cenários.
• Se 0.018 \leq r_s \leq 0.25: A arbitragem desaparece, pois o custo do empréstimo de ações equilibra a equação, eliminando os ganhos garantidos.
• Se r_s \gt 0.25: Neste caso, nenhum investidor racional realizaria a operação, pois o custo do empréstimo supera qualquer possível benefício. Como o valor futuro do portfólio seria negativo em todos os cenários, uma carteira autofinanciada nesse contexto é matematicamente impossível.

📌 O que acontece se as perdas consumirem a carteira? Liquidação forçada e Margin Call

Se a taxa de empréstimo de ações r_s for tão alta que garanta perdas seguras (r_s \gt 0.25), o corretor intervém automaticamente para evitar que a conta do investidor entre em saldo negativo. Isso resulta em uma liquidação forçada, também conhecida como margin call.

🔹 Processo de liquidação forçada:

1. O título é vendido automaticamente:

   O corretor liquida o investimento em títulos A(0)(1 + r) para obter dinheiro.

2. Recompra da ação para fechar a posição vendida:

   Com o dinheiro disponível, o corretor recompra a ação ao preço de mercado S(1) para devolvê-la ao credor.

3. Liquidação da dívida e fechamento da posição:

   Se o saldo disponível após a venda do título não cobrir a recompra da ação, o investidor fica com um saldo negativo, o que pode levar a consequências legais ou exigir o depósito de fundos adicionais.

4. Perda consolidada:

   A operação, que já era deficitária desde o início, é encerrada com uma perda total determinada por:

   \text{Perda Final} = S(1) - A(0)(1 + r - r_s)

   Se a perda final for maior que o saldo disponível na conta do investidor, ele perde todo o seu capital e pode enfrentar uma dívida com o corretor.

📌 Como a condição de não-arbitragem é restabelecida?

Quando a taxa de empréstimo de ações r_s é suficientemente baixa, a oportunidade de arbitragem permanece, incentivando os investidores a executarem vendas a descoberto em grandes volumes para obter um lucro garantido.

Para esta análise, consideremos que a taxa de empréstimo de ações é r_s = 0.015.

A alta atividade impulsionada por essa baixa taxa de juros provoca um reajuste no mercado, que, com o tempo, restabelece a condição de não-arbitragem. Em particular, observam-se os seguintes efeitos:

• Queda do preço inicial da ação S(0): A alta demanda por realizar vendas a descoberto aumenta a oferta de ações no mercado, exercendo uma pressão de baixa sobre seu preço inicial. À medida que S(0) cai, os coeficientes de crescimento e decréscimo u e d se ajustam proporcionalmente, modificando os preços futuros do ativo e sua relação com a taxa livre de risco.
• Aumento do valor presente do título A(0): Os investidores utilizam os fundos obtidos da venda a descoberto para adquirir títulos, o que provoca um aumento na sua demanda. Isso eleva seu preço presente A(0), reduzindo a rentabilidade efetiva do investimento em títulos e afetando a percepção da taxa livre de risco.

Esses efeitos combinados levam a um reajuste progressivo dos parâmetros do mercado. A queda em S(0) e o aumento em A(0) modificam a estrutura dos coeficientes u e d, assim como a relação entre a taxa livre de risco r e a taxa de empréstimo de ações r_s, até que a condição de não-arbitragem seja restabelecida:

0 \lt d \lt 1 + r - r_s \lt u

🔹 Modelagem do reajuste de preços

O processo de reajuste pode ser modelado por meio dos coeficientes de ajuste \alpha e \beta, que representam os fatores de correção aplicados ao valor presente dos títulos e ações, respectivamente.

Esses coeficientes modificam os valores atuais dos ativos, ajustando os fatores u, d e r até restabelecer a condição de não-arbitragem. Ou seja, o preço inicial da ação é ajustado de S(0) para \beta S(0), enquanto o valor presente do título passa de A(0) para \alpha A(0).

Como resultado, os novos valores de u e d são definidos em função desses coeficientes de ajuste:

u' = \dfrac{S(1,\text{sobe})}{\beta S(0)}, \quad d' = \dfrac{S(1,\text{desce})}{\beta S(0)}

Além disso, a nova taxa livre de risco r' é ajustada conforme o novo valor presente do título:

r' + 1 = \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)}

Isso leva a uma condição de não-arbitragem reformulada:

0 \lt \dfrac{S(1,\text{desce})}{\beta S(0)} \lt \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} - r_s \lt \dfrac{S(1,\text{sobe})}{\beta S(0)}

Isolando os coeficientes de ajuste, obtemos:

\beta \gt \dfrac{A(0)S(1,\text{desce})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

\beta \lt \dfrac{A(0)S(1,\text{sobe})\alpha}{S(0)(A(1) - r_s A(0)\alpha)}

Se aplicarmos os valores específicos do problema e considerarmos que o preço das ações diminui enquanto o valor dos títulos aumenta, obtemos:

\begin{array}{rl} \beta &\gt \dfrac{ 82 \alpha}{107 - 1.5\alpha} \\ \\ \beta &\lt \dfrac{105.2 \alpha}{107 - 1.5\alpha } \\ \\ \beta &\lt 1 \\ \\ \alpha &\gt 1 \end{array}

A solução deste sistema pode ser visualizada na região mais escura do seguinte gráfico:

Portanto, uma possível combinação de valores para a qual o mercado pode convergir para eliminar a oportunidade de arbitragem é, por exemplo, \alpha=1.05 e \beta=0.95.

Com isso, os coeficientes corrigidos ficam:

\begin{array}{rl} u^\prime &= \dfrac{S(1,\text{sobe})}{\beta S(0)} = \dfrac{105.2}{0.95\cdot 100} \approx 1.107 \\ \\ d^\prime &= \dfrac{S(1,\text{desce})}{\beta S(0)} = \dfrac{82}{0.95\cdot 100} \approx 0.863 \\ \\ r^\prime + 1 &= \dfrac{A(1)}{\alpha A(0)} = \dfrac{107}{1.05 \cdot 100} \approx 1.019 \end{array}

Dessa forma, satisfaz-se a condição de não-arbitragem:

0 \lt d^\prime \lt 1+r^\prime - r_s \lt u^\prime

Substituindo os valores obtidos:

0 \lt 0.863 \lt 1.019 - 0.015 = 1.004 \lt 1.107

Além disso, podem-se calcular os valores corrigidos dos ativos no momento presente devido à pressão exercida pelos investidores que buscam aproveitar a oportunidade de arbitragem:

\begin{array}{rl} A^\prime(0) &= \alpha A(0) = 1.05\cdot 100 = 105 \\ \\ S^\prime(0) &= \beta S(0) = 0.95\cdot 100 = 95 \end{array}

Demonstração do Teorema da Condição de Não-Arbitragem

Até este ponto, exploramos o funcionamento do teorema da condição de não-arbitragem. Agora, procederemos a desenvolver sua demonstração passo a passo. Para isso, é útil identificar os sinais que evidenciam a presença de uma oportunidade de arbitragem:

• Relação entre os retornos dos ativos de risco e os títulos livres de risco:

  Se o retorno do ativo de risco no pior cenário superar a taxa livre de risco, então é possível financiar sua compra tomando empréstimo a essa taxa, garantindo um ganho sem risco mesmo no pior dos casos.

  De maneira análoga, se a taxa livre de risco exceder o retorno do ativo de risco no melhor cenário, então é possível construir uma arbitragem vendendo a descoberto o ativo e investindo em títulos, obtendo assim um lucro sem risco.

• Relação entre a taxa livre de risco e a taxa de empréstimo:

  Complementando o ponto anterior, é importante distinguir entre a taxa de um empréstimo r_s e a taxa livre de risco r, especialmente ao analisar estratégias de arbitragem ou vendas a descoberto. Em geral, verifica-se a seguinte relação:

  -1\leq r \leq r_s

  Se essa relação não for satisfeita, pode-se obter arbitragem ao tomar empréstimo à taxa mais baixa r_s e investir em títulos com a taxa maior r, garantindo assim um lucro sem risco. Se essa oportunidade existisse, os investidores a explorariam até que o mercado ajustasse as taxas, eliminando a arbitragem. Além disso, os credores geralmente exigem uma taxa maior para compensar o risco de inadimplência.

  Em modelos financeiros simplificados, geralmente assume-se que r_s = r, e na maioria dos casos também se impõe r \geq 0 para evitar taxas negativas, embora isso não seja estritamente necessário.

• Condições para a existência de arbitragem em um portfólio:

  O valor de um portfólio no momento presente t=0 é dado por:

  V(0) = xS(0) + y A(0)

  onde S(0) representa o valor presente das ações e A(0) o valor presente dos títulos. No tempo futuro t=1, o valor do portfólio dependerá da evolução do ativo de risco:

  V(1) = \begin{cases} x S(0) u + y A(0) (1 + r), &\text{se o preço subir},\\ x S(0) d + y A(0) (1 + r), &\text{se o preço cair}. \end{cases}

  Existe uma oportunidade de arbitragem se e somente se for possível construir um portfólio (x,y) que satisfaça as seguintes três condições:

  1. V(0)=0, ou seja, o portfólio é autofinanciado e não requer investimento inicial.
  2. V(1)\geq 0 em todos os estados possíveis do mercado, garantindo que não haja perdas.
  3. V(1) \gt 0 em pelo menos um dos estados possíveis, assegurando um ganho estritamente positivo.

Para desenvolver esta demonstração, introduziremos a seguinte convenção de notação:

\begin{array}{rcl} V(1,\omega) &=& xS(1,\omega) + yA(1). \end{array}

Onde \omega pode ser \text{sobe} ou \text{desce}. Além disso, é necessário expressar matematicamente a condição que se cumpre quando existe uma carteira (x,y) que explora uma oportunidade de arbitragem. Isso se formula da seguinte maneira:

\begin{array}{l} V(0) = 0, \\ \forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0, \\ \exists \omega \quad V(1,\omega) > 0. \end{array}

Com esses conceitos claros, agora podemos estabelecer de maneira matemática e rigorosa a expressão que define uma oportunidade de arbitragem:

\begin{array}{rl} \text{Arbitragem}:= & V(0) = 0 \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \wedge \cdots \\ & \cdots \wedge (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \\ \\ \text{Não-Arbitragem}:= & \neg \text{Arbitragem}\\ = & V(0) \neq 0 \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega \quad V(1,\omega) \geq 0) \vee \cdots \\ & \cdots \vee \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega \quad V(1,\omega) \gt 0) \end{array}

Finalmente, o conjunto de premissas \mathcal{H} sobre o qual se desenvolve a demonstração fica expresso da seguinte forma:

\begin{array}{rcl} \mathcal{H} &=& \left\{ \right. V(0)=xS(0) + yA(0) = 0, \\ \\ & &V(t,\omega) = xS(t,\omega) + yA(t), A(0), S(0) \gt 0, \\ \\ & & S(1) = \begin{cases} S(1, \text{sobe}) = S(0)u & \text{com probabilidade } p \\ S(1,\text{desce}) = S(0)d & \text{com probabilidade } 1-p \end{cases}, \\ \\ & & 0 \lt d \lt u , \left. A(1) = A(0)(1+r), r\geq -1 \right\} \end{array}

Esse conjunto não apenas inclui as premissas do teorema, mas também as condições subjacentes do modelo binomial de um período.

Com esses princípios estabelecidos, procederemos a demonstrar matematicamente a relação que deve ser cumprida em um mercado livre de arbitragem.

Prova Formal do Teorema:

\begin{array}{rll} (1) & \mathcal{H} \models V(0) =xS(0) + yA(0) = 0 & \text{; Pressuposição} \\ (2) & \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) + yA(1) & \text{; Pressuposição} \\ (3) & \mathcal{H} \models A(0) \gt 0 & \text{; Pressuposição} \\ (4) & \mathcal{H} \models S(0) \gt 0 & \text{; Pressuposição} \\ (5) & \mathcal{H} \models r \gt -1 & \text{; Pressuposição} \\ (6) & \mathcal{H} \models A(1) = (1+r) A(0) & \text{; Pressuposição} \\ (7) &\color{red}\mathcal{H} \models 0 \lt d \lt u \color{black}& \text{; Pressuposição} \\ \\ (8) & \mathcal{H} \models S(1) = \begin{cases}S(1,\text{sobe})=S(0)u & \text{, com probabilidade } p \\ S(1,\text{desce}) = S(0)d & \text{, com probabilidade } 1-p\end{cases} & \text{; Pressuposição} \\ \\ (9) & \mathcal{H} \models y = \dfrac{-xS(0)}{A(0)} \wedge x\in\mathbb{R} & \text{; De(1)} \\ (10)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - \dfrac{xS(0)}{A(0)} A(1) & \text{; De(2,9)} \\ (11)& \mathcal{H} \models V(1,\omega) =xS(1,\omega) - x(1+r)S(0) & \text{; De(6,10)} \\ &\text{Este é o valor futuro de um portfólio financiado com um empréstimo} &\\ &\text{com taxa de juros $r$ com o objetivo de financiar uma ação.} &\\ (12)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models 0 \leq (1+r)S(0) \leq \underbrace{S(0) d}_{S(1,\text{desce})} \lt \underbrace{S(0) u}_{S(1,\text{sobe})} & \text{; De(4,5,7,8)}\\ (13)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models x(1+r)S(0) \leq xS(1,\omega) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(12)}\\ (14)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega) \geq 0) &\text{; De(2,9,13)}\\ (15)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models V(1,\omega) \gt 0 \leftrightarrow y \gt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} & \text{; De(2,3,6,7.8)}\\ (16)&\mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad V(1,\omega)\gt 0) &\text{; De(14,15)}\\ (17)& \mathcal{H}\cup\{1+r\leq d\} \models \text{Arbitragem} &\text{; De(1,14,16)}\\ (18)& \color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{Não-Arbitragem}\} \models d \lt 1+r\color{black}& \text{; RTD,CPI,TD(17)}\\ \\ (19)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models 0 \lt \underbrace{S(0)d}_{S(1,\text{desce})} \lt \underbrace{S(0)u}_{S(1,\text{sobe})} \leq (1+r)S(0) & \text{; De(4,5,7,8)}\\ (20)& \mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models xS(1,\omega) \leq x(1+r)S(0) \leftrightarrow x\gt 0 &\text{; De(19)} \\ (21)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(0) = - V(0) = 0 & \text{; De(1)}\\ (22)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)=-V(1,\omega) & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models\tilde{V}(1,\omega)}=-xS(1,\omega)+x(1+r)S(0) & \text{;De(11)}\\ &\text{Este é o valor futuro de um portfólio financiado com a venda} &\\ &\text{a descoberto de uma ação com o objetivo de comprar um título cujo valor} &\\ &\text{cresce a uma taxa de juros $r$.} & \\ (23)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models (\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad \tilde{V}(1,\omega) \geq 0) & \text{; De(2,9,20,22)}\\ (24)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \tilde{V}(1,\omega)\gt 0 \leftrightarrow y \lt \dfrac{-xS(1,\omega)}{A(1)} = \dfrac{-xS(1,\omega)}{(1+r)A(0)} &\text{; De(2,3,4,6,22)}\\ (25)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\exists \omega\quad \tilde{V}(1,\omega)\gt 0) &\text{; De(23,24)}\\ (26)&\mathcal{H}\cup\{u \leq 1+r\} \models \text{Arbitragem} &\text{; De(21,23,25)}\\ (27)&\color{red}\mathcal{H}\cup\{\text{Não-Arbitragem}\} \models 1+r \lt u\color{black}& \text{; RTD,CPI,TD(26)}\\ (28) &\mathcal{H}\cup\{\text{Não-Arbitragem}\} \models 0\lt d\lt1+r\lt u &\text{;\color{red}$\wedge$-Int(Mon(7),18,27)}\color{black} \\ (29)& \boxed{\mathcal{H} \models\text{Não-Arbitragem}\rightarrow 0\lt d\lt1+r\lt u} & \text{; TD(28)}\\ \\ (30)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u & \text{; Pressuposição}\\ (31)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(4,30)}\\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt x(1+r)S(0)\dfrac{A(0)}{A(0)} \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(0)d\lt -y(1+r)A(0) \lt xS(0)u \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(9)} \\ &\phantom{\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\}} \models xS(1,\text{desce})\lt -yA(1) \lt xS(1,\text{sobe}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(6,8)} \\ (32)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{desce})\lt 0 \lt V(1,\text{sobe}) \leftrightarrow x\gt 0 & \text{; De(2,31)} \\ (33)& \mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models V(1,\text{desce})\gt 0 \gt V(1,\text{sobe}) \leftrightarrow x\lt 0 & \text{; De(31,32)} \\ (34)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \neg(\exists xy\in\mathbb{R}\setminus\{0\})(\forall \omega\quad V(1,\omega)\geq 0) & \text{; De(32,33)} \\ (35)&\mathcal{H}\cup\{0\lt d\lt 1+r \lt u\} \models \text{Não-Arbitragem} & \text{; $\vee$-int(34)}\\ (36)&\boxed{\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \rightarrow \text{Não-Arbitragem}} & \text{; TD(35)}\\ \\ (37)& \color{blue}\mathcal{H} \models 0\lt d\lt 1+r \lt u \leftrightarrow \text{Não-Arbitragem}\color{black}\quad\blacksquare & \text{; De(29,36)} \end{array}

Conclusão

O modelo binomial de um período e a condição de não-arbitragem são pilares fundamentais na teoria financeira, fornecendo um arcabouço estruturado para a valorização de ativos e a estabilidade dos mercados. Ao longo deste artigo, analisamos como as oportunidades de arbitragem, embora atraentes em teoria, são rapidamente eliminadas pelas forças do mercado por meio de ajustes nos preços dos ativos e nas taxas de juros. Demonstramos matematicamente que a relação entre os fatores de crescimento e decréscimo de um ativo e a taxa livre de risco é essencial para garantir um mercado eficiente e livre de oportunidades de lucro sem risco. Além disso, observamos que, mesmo quando surgem oportunidades de arbitragem, mecanismos como a pressão sobre os preços, o custo dos empréstimos e a reconfiguração dos parâmetros de mercado levam inexoravelmente à restauração do equilíbrio. Com essa compreensão, fica claro que a arbitragem não é apenas uma anomalia passageira, mas um elemento fundamental na dinâmica dos mercados financeiros que impulsiona sua eficiência e coerência matemática.