电场的概念
在19世纪，迈克尔·法拉第（Michael Faraday），电学领域最伟大的实验家之一，有一种独特的工作方式：他将实验室布满了导线、带电球体和装有导电液体的小容器。一则著名的轶事提到，他对可视化围绕电荷的“力线”有着近乎执着的追求，以至于将铁屑洒满了整个实验室，地板上留下的图案看起来像是现代艺术。他的同事们困惑不解，以为他失去了理智，但实际上，法拉第正在描绘一个最具革命性的概念：电场。在本文中，我们将探讨这些诞生于天才与实验的想法如何帮助我们绘制和理解支配电学的无形相互作用。如果你曾好奇如何“看见”无形之物，这将是一次探索之旅。
学习目标：
完成本节课后，学生将能够：
- 理解电场的概念以及它通过库仑定律与电力的关系。
- 应用电场的定义解决与点电荷相关的问题。
- 分析离散和连续电荷分布中的叠加原理以计算电场。
- 评估线性、表面和体积分布的积分以确定复杂配置中的电场。
- 解决包括带电杆、带电环和无限平面配置的实践练习。
什么是电场？
当我们在某个地方放置一个源电荷时，可以通过一个测试电荷感受到它的存在，因为测试电荷会由于源电荷的存在而感受到电力。这种力通过库仑定律来研究。基于此，我们说源电荷“充满空间”一种属性，即电场，它是产生电力的原因。
为了测量某点空间中电荷 q 的电场 \vec{r}，我们需要将一个测试电荷 q_0 放置在那里。电场可以被描述为测试电荷 q_0 单位电荷所感受到的电力。
\vec{E}_q(\vec{r}) = \displaystyle \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
但当我们这样操作时，我们忽略了测试电荷也会有自己的电场，并且这个电场会与源电荷的电场重叠。为了解决这个问题，我们通过极限讨论电场：
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
通过极限定义，我们确保测试电荷 q_0 的电场不会干扰电荷 q 的电场测量。现在，回想库仑定律，一个带电粒子 q 的电场如下：
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{1}{q_0} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^2} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^3}
因此，我们有：
\displaystyle \vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r}) = q_0 \vec{E}_q(\vec{r})
电场与电荷分布
由于电场是根据力进行研究的，并且它满足叠加原理，因此我们可以研究不同电荷分布的电场。
离散分布
考虑一个由 n 个离散电荷组成的分布 q_1, q_2, \cdots, q_n，它们的位置为 \vec{r}^\prime_1, \vec{r}^\prime_2, \cdots, \vec{r}^\prime_n. 如果我们想计算某点 \vec{r} 的电场，则有：
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} -\vec{r}_i^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}_i^\prime\|^3}
即所有单个电场的总和。
连续分布
连续电荷分布有三种类型，每种类型与描述其空间排列所需的参数数量相关。这些类型是线性分布、表面分布和体积分布。
线性分布
在线性电荷分布中，带电体的每个线元素具有线性电荷密度 \lambda(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dl，因此电场的微元表示为：
d\vec{E}(\vec{r}) =\displaystyle \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\lambda(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
将该表达式积分后，我们得到：
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathcal{C}} \lambda(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
其中 \mathcal{C} 是描述带电体形状的曲线的参数化表示。
表面分布
在表面电荷分布中，带电体的每个表面元素具有表面电荷密度 \sigma(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dS，因此电场的微元表示为：
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\sigma(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
将该表达式积分后，我们得到：
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{\mathcal{A}} \sigma(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
其中 \mathcal{A} 是描述带电体形状的表面的参数化表示。
体积分布
在体积电荷分布中，带电体的每个体积元素具有体积电荷密度 \rho(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dV，因此电场的微元表示为：
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}^\prime) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
将该表达式积分后，我们得到：
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathcal{V}} \rho(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
其中 \mathcal{V} 是描述带电体形状的体积的参数化表示。
电场与电荷分布
由于电场是根据力进行研究的，并且它满足叠加原理，因此我们可以研究不同电荷分布的电场。
离散分布
考虑一个由 n 个离散电荷组成的分布 q_1, q_2, \cdots, q_n，它们的位置为 \vec{r}^\prime_1, \vec{r}^\prime_2, \cdots, \vec{r}^\prime_n. 如果我们想计算某点 \vec{r} 的电场，则有：
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} -\vec{r}_i^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}_i^\prime\|^3}
即所有单个电场的总和。
连续分布
连续电荷分布有三种类型，每种类型与描述其空间排列所需的参数数量相关。这些类型是线性分布、表面分布和体积分布。
线性分布
在线性电荷分布中，带电体的每个线元素具有线性电荷密度 \lambda(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dl，因此电场的微元表示为：
d\vec{E}(\vec{r}) =\displaystyle \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\lambda(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
将该表达式积分后，我们得到：
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathcal{C}} \lambda(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
其中 \mathcal{C} 是描述带电体形状的曲线的参数化表示。
表面分布
在表面电荷分布中，带电体的每个表面元素具有表面电荷密度 \sigma(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dS，因此电场的微元表示为：
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\sigma(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
将该表达式积分后，我们得到：
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{\mathcal{A}} \sigma(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
其中 \mathcal{A} 是描述带电体形状的表面的参数化表示。
体积分布
在体积电荷分布中，带电体的每个体积元素具有体积电荷密度 \rho(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dV，因此电场的微元表示为：
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}^\prime) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
将该表达式积分后，我们得到：
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathcal{V}} \rho(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
其中 \mathcal{V} 是描述带电体形状的体积的参数化表示。
练习：
带电杆
考虑一根长度为 L 的杆，其上均匀分布有电荷 Q，并竖直放置。求该杆在距其中心水平距离为 x 处的电场。
带电环
考虑一个半径为 R 的环，其上均匀分布有电荷 Q，并位于 xy 平面内。求该环在距其中心高度为 z 处的电场。
无限带电平面
考虑一个无限平面，其上均匀分布有表面电荷密度 \sigma。求该平面在距其 L 处的电场。