El concepto de campo eléctrico
En el siglo XIX, Michael Faraday, uno de los más grandes experimentadores en el campo de la electricidad, tenía una manera peculiar de trabajar: llenaba su laboratorio de hilos, esferas cargadas y pequeños recipientes con líquidos conductores. Una anécdota famosa cuenta que, en su obsesión por visualizar las «líneas de fuerza» que rodeaban a una carga eléctrica, derramó limaduras de hierro por todo el laboratorio, dejando el piso cubierto de patrones que parecían arte moderno. Sus colegas, confundidos, pensaron que había perdido el juicio, pero Faraday estaba delineando uno de los conceptos más revolucionarios: el campo eléctrico. En este artículo, exploraremos cómo estas ideas, nacidas del genio y la experimentación, nos permiten mapear y entender las interacciones invisibles que gobiernan la electricidad. Si alguna vez te has preguntado cómo se puede ver lo intangible, este recorrido es para ti.
Objetivos de Aprendizaje:
Al finalizar esta clase el estudiante será capaz de
- Comprender el concepto de campo eléctrico y su relación con la fuerza eléctrica mediante la Ley de Coulomb.
- Aplicar la definición de campo eléctrico para resolver problemas relacionados con cargas puntuales.
- Analizar el principio de superposición en distribuciones discretas y continuas de carga para calcular campos eléctricos.
- Evaluar la integración de distribuciones lineales, superficiales y volumétricas para determinar campos eléctricos en configuraciones complejas.
- Resolver ejercicios prácticos que incluyan configuraciones de barra cargada, anillo cargado y plano infinito cargado.
ÍNDICE DE CONTENIDOS:
¿Qué es el campo eléctrico?
El campo eléctrico y las distribuciones de carga
Ejercicios
¿Qué es el campo eléctrico?
Cuando colocamos una fuente de carga en algún lugar del espacio, podemos sentir su presencia utilizando una carga de pruebas debido a la fuerza eléctrica que ésta siente debido a su presencia. Esta fuerza la estudiamos a través de la Ley de Coulomb. Apoyándonos en esto decimos que la fuente de carga «inunda el espacio» con una propiedad, un Campo Eléctrico, que es el responsable de producir la fuerza eléctrica.
Para medir el campo eléctrico de una carga q en un cierto punto \vec{r} del espacio, necesitamos colocar una carga de prueba q_0 en ese lugar. El campo eléctrico se describirá como la cantidad de fuerza eléctrica que siente la carga de prueba q_0 por unidad de carga.
\vec{E}_q(\vec{r}) = \displaystyle \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
Pero cuando procedemos de esta manera, estamos pasando por alto el hecho de que la carga de prueba también debería tener su propio campo eléctrico, y este se superpondrá con el campo de la fuente de cargas. Para resolver ese problema hablamos del campo eléctrico a través del límite:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{\vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r})}{q_0}
Utilizando la definición a través del límite, nos aseguramos de que el campo de la carga de pruebas q_0 no interfiera con las mediciones del campo de la carga q. Ahora, recordando la Ley de Coulomb, el campo eléctrico de una particula cargada q queda de la forma:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \lim_{q_0 \to 0} \frac{1}{q_0} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^2} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} -\vec{r}^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}^\prime\|^3}
Y, a partir de esto se tiene que
\displaystyle \vec{F}_{q\to q_0}(\vec{r}) = q_0 \vec{E}_q(\vec{r})
El campo eléctrico y las distribuciones de carga
Dado que el campo eléctrico se estudia en función de la fuerza, y este satisface el principio de superposición, es que podemos estudiar los campos de distintas distribuciones de carga.
Distribuciones discretas
Consideremos una distribución de n cargas discretas q_1, q_2, \cdots, q_n con posiciones \vec{r}^\prime_1, \vec{r}^\prime_2, \cdots, \vec{r}^\prime_n. Si queremos calcular su campo en algún punto \vec{r} del espacio, entonces se tendrá que:
\displaystyle\vec{E}_q(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \sum_{i=1}^n q_i \frac{\vec{r} -\vec{r}_i^\prime}{\|\vec{r} -\vec{r}_i^\prime\|^3}
Es decir, la suma de todos los campos individuales.
Distribuciones continuas
Existen tres tipos de distribuciones continuas de cargas,cada una asociada al número de parámetros necesarios para describir su disposición espacial. Estas son las distribuciones lineales, superficiales y volumétricas.
Distribución lineal
En una distribución lineal de carga, cada elemento de linea del cuerpo cargado tiene una densidad lineal de carga \lambda(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dl, de modo que el elemento de campo eléctrico queda de la forma.
d\vec{E}(\vec{r}) =\displaystyle \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\lambda(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
Luego, si integramos esta expresión, se tiene:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int_{\mathcal{C}} \lambda(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dl
Donde \mathcal{C} es la representación paramétrica de la curva que describe la figura del cuerpo cargado.
Distribución superficial
En una distribución superficial de carga, cada elemento de superficie del cuerpo cargado tiene una densidad lineal de carga \sigma(\vec{r}^\prime)=dq(\vec{r}^\prime)/dS, de modo que el elemento de campo eléctrico queda de la forma.
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\sigma(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
Luego, si integramos esta expresión, se tiene:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iint_{\mathcal{A}} \sigma(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dS
Donde \mathcal{A} es la representación paramétrica de la superficie que describe la figura del cuerpo cargado.
Distribución volumétrica
En una distribución volumétrica de carga, cada elemento de superficie del cuerpo cargado tiene una densidad volumétrica de carga \rho(\vec{r}_i^\prime)=dq(\vec{r}_i^\prime)/dV, de modo que el elemento de campo eléctrico queda de la forma.
\displaystyle d\vec{E}(\vec{r}^\prime) = \frac{dq(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3} = \frac{\rho(\vec{r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0} \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
Luego, si integramos esta expresión, se tiene:
\displaystyle \vec{E}(\vec{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{\mathcal{V}} \rho(\vec{r}^\prime) \frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\|\vec{r} - \vec{r}^\prime\|^3}dV
Donde \mathcal{V} es la representación paramétrica del volumen que describe la figura del cuerpo cargado.
Ejercicios:
Barra cargada
Considere una barra de longitud L cargada uniformemente con una carga Q y puesta de forma vertical. Determine el campo eléctrico de la barra a una distancia horizontal x del centro de la barra.
Anillo cargado
Considere una anillo de radio R cargado uniformemente con una carga Q puesto sobre el plano xy. Determine el campo eléctrico justo a una altura z del centro del anillo.
Plano infinito cargado
Considere un plano infinito cargado uniformemente con una densidad de carga superficial \sigma. Determine el campo eléctrico a una distancia L del plano.