التوازن الحراري، درجة الحرارة وتعريفها الإحصائي

درجة الحرارة الديناميكية الحرارية، التي تُفهم على أنها الرابط بين الطاقة والاحتمال، تنشأ من التوازن بين الحالات الكلية والحالات الجزئية في الأنظمة الحرارية. يستكشف هذا المحتوى كيف تحدد زيادة عدد الحالات الجزئية التوازن الحراري، باستخدام الاستنتاجات الرياضية وإطار الميكانيكا الإحصائية لتوضيح علاقتها مع ثابت بولتزمان ومقياس كلفن.

أهداف التعلم:
بنهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على:

1. فهم العلاقة بين الحالات الكلية والحالات الجزئية في الأنظمة الديناميكية الحرارية ومفهوم درجة الحرارة.

فهرس المحتويات:
الحالات الكلية والجزئية للأنظمة المتصلة حراريًا
درجة الحرارة الديناميكية الحرارية: الخاصية المشتركة للأنظمة المتوازنة

الحالات الكلية والجزئية للأنظمة المتصلة حراريًا

لفهم مفهوم درجة الحرارة الديناميكية الحرارية، يجب علينا أولاً أن نفهم كيف تتفاعل الأنظمة الديناميكية الحرارية وعلاقتها بالحالات الكلية والجزئية. لنأخذ مثالاً على نظامين متصلين حراريًا ببعضهما البعض ولكنهما معزولان عن بقية الكون.

من ناحية، بما أن الأنظمة تظل معزولة، فإن الطاقة الكلية E=E_1+E_2 ستبقى ثابتة، وبالتالي يمكن تعريف الحالة الكلية للنظام باستخدام أي من الطاقات الثلاث: E، E_1، أو E_2. من ناحية أخرى، إذا تحدثنا عن الحالات الجزئية، فإن النظام ذو الطاقة E_1 يمتلك \Omega_1(E_1) حالات جزئية، وبالمثل فإن النظام ذو الطاقة E_2 يمتلك \Omega_2(E_2) حالات جزئية أخرى. وبالتالي، يتكون النظام المركب من إجمالي \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) حالات جزئية.

افتراضات حول التوازن الديناميكي الحراري

إذا كان بإمكان كل نظام تبادل الطاقة لتحقيق التوازن الديناميكي الحراري، فإنه في مرحلة ما ستقترب قيم E_1 وE_2 من قيم ثابتة. الفكرة التي يجب أن نضعها في اعتبارنا هنا هي أن الحالة الكلية ذات الاحتمالية الأكبر للحدوث هي التي تزيد من عدد الحالات الجزئية. ومن هذا نستنتج الافتراضات التالية:

1. لكل حالة جزئية نفس احتمال الحدوث.
2. الديناميكية الداخلية للنظام تجعل الحالات الجزئية في تغيير مستمر.
3. بعد فترة زمنية معينة، سيستكشف النظام جميع الحالات الجزئية الممكنة وسيقضي نفس الوقت في كل منها.

تشير هذه الافتراضات إلى أن النظام سيقضي معظم وقته في الحالات الكلية التي تمثل العدد الأكبر من الحالات الجزئية، وبالتالي ستكون هي الأكثر احتمالاً. الآن، في الأنظمة التي تتم دراستها عادةً في الديناميكا الحرارية، فإن تعبير “الأكثر احتمالاً” يعني عمليًا “مستحيل أن لا يحدث”. ما قد يبدو وكأنه بيان إحصائي بسيط هو في الواقع إعلان يقارب اليقين المطلق.

درجة الحرارة الديناميكية الحرارية: الخاصية المشتركة للأنظمة المتوازنة

في مشكلة الجسمين المتصلين حراريًا، يكون التوزيع الأكثر احتمالاً للطاقة هو ذلك الذي يزيد من عدد الحالات الجزئية \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2). ولأن الأنظمة كبيرة جدًا، يمكننا استخدام أدوات الحساب التفاضلي كوسيلة تقريبية جيدة لاستنتاج معنى هذه الافتراضات واستنباط خصائصها.

إذا قمنا بتغيير طاقة أحد الأنظمة بشكل صغير جدًا وبحثنا عن الحالة التي يتم فيها زيادة عدد الحالات الجزئية إلى الحد الأقصى، فإننا سنصل إلى التفكير التالي:

\begin{array}{rl} (1) & \dfrac{d}{dE_1}\left[ \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2) \right] = 0 \\ & \text{; لأن عدد الحالات الجزئية تم تعظيمه} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1(E_1)}{dE_1} \Omega_2(E_2) + \Omega_1(E_1) \dfrac{d\Omega_2(E_2)}{E_2}\dfrac{dE_2}{dE_1} = 0 \\ & \text{; باستخدام قاعدة الضرب وقاعدة السلسلة} \\ \\ (2) & E = E_1 + E_2 = \text{ثابت} \\ & \text{; الطاقة الكلية للنظامين المتصلين حراريًا} \\ \\ \equiv & E_1 = E - E_2 \\ \\ (3) & \dfrac{dE_2}{dE_1} = \dfrac{d}{dE_1} (E - E_1) = -1\;\text{; من (2)} \\ \\ (4) & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 - \Omega_2 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} = 0\;\text{; من (1) و(3)} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} \Omega_2 = \Omega_1 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{1}{\Omega_1} \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} = \dfrac{1}{\Omega_2} \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\ln(\Omega_1)}{dE_1} = \dfrac{d\ln(\Omega_2)}{dE_2} \end{array}

من هنا نفهم أن التوازن الحراري هو الحالة الكلية الأكثر احتمالاً للجسمين المتصلين حراريًا لفترة طويلة. هذه الحالة هي التي تزيد من عدد الحالات الجزئية إلى الحد الأقصى. إذا حدث ذلك، فإن التفكير أعلاه يشير إلى أن هناك كمية مشتركة بين النظامين نسميها درجة الحرارة.

تعريف درجة الحرارة الديناميكية الحرارية

عندما يحدث هذا، نقول إن الجسمين “لديهما نفس درجة الحرارة”، ونربط d\ln\Omega/dE بدرجة الحرارة T (بحيث T_1 = T_2). وهكذا، يتم تعريف درجة الحرارة الديناميكية الحرارية كالتالي:

\displaystyle \frac{1}{k_B T} = \frac{d\ln\Omega}{dE}

حيث k_B=1.3807\cdot 10^{-23}[J/K] هو ثابت بولتزمان.

باختيار هذه الثابتة، فإن درجة الحرارة T التي قمنا بتعريفها تكتسب تفسيرها المعتاد فيما نعرفه باسم مقياس كلفن.