Équilibre thermique, température et sa définition statistique

La température thermodynamique, comprise comme la connexion entre énergie et probabilité, découle de l’équilibre entre macroétats et microétats dans les systèmes thermiques. Ce contenu explore comment la maximisation du nombre de microétats définit l’équilibre thermique, en utilisant des déductions mathématiques et le cadre de la mécanique statistique pour expliquer son lien avec la constante de Boltzmann et l’échelle Kelvin.

Objectifs d’apprentissage :
À la fin de cette leçon, l’étudiant sera capable de :

1. Comprendre la relation entre macroétats et microétats dans les systèmes thermodynamiques et le concept de température.

TABLE DES MATIÈRES :
Macroétats et microétats des systèmes en contact thermique
Température thermodynamique : La qualité commune des systèmes en équilibre

Macroétats et microétats des systèmes en contact thermique

Pour aborder le concept de température thermodynamique, nous devons d’abord comprendre comment les systèmes thermodynamiques interagissent et leur relation avec les macroétats et les microétats. Considérons le cas de deux systèmes en contact thermique entre eux, mais isolés du reste de l’univers.

D’une part, étant donné que les systèmes restent isolés, l’énergie totale E=E_1+E_2 est constante, et par conséquent, le macroétat du système est défini par l’une des trois énergies E, E_1 ou E_2. D’autre part, si nous parlons des microétats, le système avec une énergie E_1 possède \Omega_1(E_1) microétats, et de manière similaire, celui avec une énergie E_2 en possède \Omega_2(E_2). Par conséquent, le système combiné est composé d’un total de \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) microétats.

Hypothèses sur l’équilibre thermodynamique

Si chaque système peut échanger de l’énergie jusqu’à atteindre un équilibre thermodynamique, alors à un certain moment, E_1 et E_2 convergeront vers des valeurs constantes. L’idée à retenir est que le macroétat ayant la plus grande probabilité de se produire sera celui qui maximise le nombre de microétats. À partir de cela, les hypothèses suivantes sont faites :

1. Chaque microétat a la même probabilité de se produire.
2. La dynamique interne du système est telle que les microétats changent continuellement.
3. Après un certain temps, le système explorera tous les microétats possibles et passera le même temps dans chacun d’eux.

Ces hypothèses impliquent que le système passera la majeure partie de son temps dans les macroétats représentant le plus grand nombre de microétats, et seront donc les plus probables. Maintenant, dans les systèmes généralement étudiés en thermodynamique, l’expression « le plus probable » signifie en réalité « pratiquement impossible que cela ne se produise pas ». Ce qui peut sembler être une simple affirmation statistique est en fait une déclaration presque absolue de certitude.

Température thermodynamique : La qualité commune des systèmes en équilibre

Dans notre problème de deux corps placés en contact thermique, la distribution d’énergie la plus probable est celle qui maximise le nombre \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) de microétats. Étant donné que les systèmes sont vastes, nous pouvons utiliser les outils du calcul différentiel comme une bonne approximation pour déduire la signification de ces affirmations et leurs propriétés.

Si nous effectuons des variations infinitésimales sur l’énergie de l’un des systèmes et cherchons le cas où le nombre de microétats est maximisé, nous obtenons le raisonnement suivant :

\begin{array}{rl} (1) & \dfrac{d}{dE_1}\left[ \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2) \right] = 0 \\ & \text{; car le nombre de microétats a été maximisé} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1(E_1)}{dE_1} \Omega_2(E_2) + \Omega_1(E_1) \dfrac{d\Omega_2(E_2)}{E_2}\dfrac{dE_2}{dE_1} = 0 \\ & \text{; en appliquant la règle du produit et la règle de chaîne} \\ \\ (2) & E = E_1 + E_2 = \text{Constante} \\ & \text{; Énergie totale des deux systèmes en contact thermique} \\ \\ \equiv & E_1 = E - E_2 \\ \\ (3) & \dfrac{dE_2}{dE_1} = \dfrac{d}{dE_1} (E - E_1) = -1\;\text{; d’après (2)} \\ \\ (4) & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 - \Omega_1 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} = 0\;\text{; d’après (1) et (3)} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} \Omega_2 = \Omega_1 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{1}{\Omega_1} \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} = \dfrac{1}{\Omega_2} \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\ln(\Omega_1)}{dE_1} = \dfrac{d\ln(\Omega_2)}{dE_2} \end{array}

Nous comprenons ainsi que, puisque l’équilibre thermique est le macroétat le plus probable pour deux corps en contact thermique prolongé, il maximise le nombre de microétats. Si cela se produit, le raisonnement ci-dessus montre qu’il existe une grandeur commune aux deux systèmes que nous appelons température.

Définition de la température thermodynamique

Lorsque cela se produit, nous disons que les corps « sont à la même température » et nous relions d\ln\Omega/dE à la température T (de sorte que T_1 = T_2). Ainsi, la température thermodynamique est définie comme suit :

\displaystyle \frac{1}{k_B T} = \frac{d\ln\Omega}{dE}

où k_B=1.3807\cdot 10^{-23}[J/K] est la constante de Boltzmann.

Avec ce choix de constantes, la température T que nous avons définie acquiert son interprétation habituelle dans ce que nous appelons l’échelle Kelvin.