ऊष्मा संतुलन, तापमान और इसका सांख्यिकीय परिभाषा

ऊष्मागतिकीय तापमान, जिसे ऊर्जा और संभावना के बीच के संबंध के रूप में समझा जाता है, ऊष्मा प्रणाली में मैक्रोस्टेट्स और माइक्रोस्टेट्स के बीच संतुलन से उत्पन्न होता है। यह सामग्री माइक्रोस्टेट्स की संख्या को अधिकतम करके ऊष्मा संतुलन को परिभाषित करने की प्रक्रिया का विश्लेषण करती है। इसके लिए गणितीय निष्कर्ष और सांख्यिकीय यांत्रिकी का उपयोग किया गया है, और यह बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक और केल्विन स्केल के साथ इसके संबंध की व्याख्या करती है।

शिक्षण उद्देश्य:
इस कक्षा को समाप्त करने के बाद, छात्र सक्षम होगा:

1. समझना ऊष्मागतिकीय प्रणालियों में मैक्रोस्टेट्स और माइक्रोस्टेट्स के बीच संबंध और तापमान की अवधारणा।

सामग्री सूचकांक:
ऊष्मा संपर्क में रखे गए प्रणालियों के मैक्रोस्टेट्स और माइक्रोस्टेट्स
ऊष्मागतिकीय तापमान: संतुलन में प्रणालियों की सामान्य गुणवत्ता

ऊष्मा संपर्क में रखे गए प्रणालियों के मैक्रोस्टेट्स और माइक्रोस्टेट्स

ऊष्मागतिकीय तापमान की अवधारणा को समझने के लिए, हमें पहले यह देखना होगा कि ऊष्मागतिकीय प्रणालियां कैसे संपर्क करती हैं और उनका माइक्रोस्टेट्स और मैक्रोस्टेट्स से क्या संबंध है। आइए दो प्रणालियों का उदाहरण लें जो एक-दूसरे के साथ ऊष्मा संपर्क में हैं, लेकिन ब्रह्मांड के बाकी हिस्सों से अलग हैं।

एक तरफ, क्योंकि प्रणालियां अलग-थलग रहती हैं, कुल ऊर्जा E=E_1+E_2 स्थिर होगी, और इस वजह से प्रणाली का मैक्रोस्टेट्स इनमें से किसी एक ऊर्जा E, E_1, और E_2 द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी तरफ, यदि हम माइक्रोस्टेट्स की बात करें, तो E_1 ऊर्जा वाली प्रणाली में \Omega_1(E_1) माइक्रोस्टेट्स होते हैं, और समान रूप से, E_2 ऊर्जा वाली प्रणाली में \Omega_2(E_2) माइक्रोस्टेट्स होते हैं। इसलिए, संयुक्त प्रणाली में कुल \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) माइक्रोस्टेट्स होते हैं।

ऊष्मागतिकीय संतुलन के बारे में धारणाएं

यदि प्रत्येक प्रणाली ऊर्जा का आदान-प्रदान कर सकती है और ऊष्मागतिकीय संतुलन प्राप्त कर सकती है, तो किसी समय E_1 और E_2 स्थिर मानों के करीब पहुंच जाएंगे। इस समय हमें यह ध्यान रखना होगा कि सबसे अधिक संभावित मैक्रोस्टेट्स वह होगा जो माइक्रोस्टेट्स की संख्या को अधिकतम करेगा। इससे निम्नलिखित धारणाएं निकलती हैं:

1. प्रत्येक माइक्रोस्टेट्स के होने की संभावना समान होती है।
2. प्रणाली की आंतरिक गतिशीलता ऐसी है कि माइक्रोस्टेट्स लगातार बदलते रहते हैं।
3. कुछ समय बाद, प्रणाली सभी संभावित माइक्रोस्टेट्स का पता लगाएगी और प्रत्येक में समान समय बिताएगी।

ये धारणाएं बताती हैं कि प्रणाली अधिकांश समय उन मैक्रोस्टेट्स में बिताएगी जो सबसे अधिक माइक्रोस्टेट्स का प्रतिनिधित्व करते हैं, और इसलिए वे सबसे अधिक संभावित होंगे। अब, जिन प्रणालियों का अध्ययन सामान्यत: ऊष्मागतिकी में किया जाता है, उनके संदर्भ में “सबसे संभावित” वाक्यांश का वास्तव में मतलब है “ऐसा होना लगभग असंभव है कि यह न हो।” जो सांख्यिकीय कथन की तरह लगता है, वह वास्तव में लगभग पूर्ण निश्चितता का कथन है।

ऊष्मागतिकीय तापमान: संतुलन में प्रणालियों की सामान्य गुणवत्ता

हमारे दो ऊष्मा संपर्क में रखे गए प्रणालियों के मामले में, सबसे संभावित ऊर्जा वितरण वह होता है जो माइक्रोस्टेट्स की संख्या \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) को अधिकतम करता है। चूंकि प्रणालियां विशाल होती हैं, हम इन कथनों के अर्थ पर अनुमान लगाने और उनकी विशेषताओं को निकालने के लिए कलन विधि का उपयोग कर सकते हैं।

यदि हम प्रणालियों में से एक की ऊर्जा में अति-सूक्ष्म भिन्नता करते हैं और माइक्रोस्टेट्स की संख्या को अधिकतम करने वाले मामले की तलाश करते हैं, तो हमें निम्नलिखित तर्क प्राप्त होता है:

\begin{array}{rl} (1) & \dfrac{d}{dE_1}\left[ \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2) \right] = 0 \\ & \text{; क्योंकि माइक्रोस्टेट्स की संख्या अधिकतम की गई है} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1(E_1)}{dE_1} \Omega_2(E_2) + \Omega_1(E_1) \dfrac{d\Omega_2(E_2)}{E_2}\dfrac{dE_2}{dE_1} = 0 \\ & \text{; गुणन नियम और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए} \\ \\ (2) & E = E_1 + E_2 = \text{स्थिरांक} \\ & \text{; ऊष्मा संपर्क में रखे गए दो प्रणालियों की कुल ऊर्जा} \\ \\ \equiv & E_1 = E - E_2 \\ \\ (3) & \dfrac{dE_2}{dE_1} = \dfrac{d}{dE_1} (E - E_1) = -1\;\text{; (2) से प्राप्त} \\ \\ (4) & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 - \Omega_2 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} = 0\;\text{; (1) और (3) से प्राप्त} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} \Omega_2 = \Omega_1 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{1}{\Omega_1} \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} = \dfrac{1}{\Omega_2} \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\ln(\Omega_1)}{dE_1} = \dfrac{d\ln(\Omega_2)}{dE_2} \end{array}

इससे हम समझते हैं कि, चूंकि ऊष्मा संतुलन वह सबसे संभावित मैक्रोस्टेट्स है जो लंबे समय तक ऊष्मा संपर्क में रखे गए दो प्रणालियों के पास होता है, यह माइक्रोस्टेट्स की संख्या को अधिकतम करता है। यदि ऐसा होता है, तो उपरोक्त तर्क से पता चलता है कि दोनों प्रणालियों के लिए एक सामान्य मात्रा होती है, जिसे हम तापमान कहते हैं।

ऊष्मागतिकीय तापमान की परिभाषा

जब ऐसा होता है, तो हम कहते हैं कि प्रणालियां “समान तापमान पर हैं” और d\ln\Omega/dE को तापमान T से जोड़ते हैं (ताकि T_1 = T_2)। इस प्रकार, ऊष्मागतिकीय तापमान को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\displaystyle \frac{1}{k_B T} = \frac{d\ln\Omega}{dE}

जहां k_B=1.3807\cdot 10^{-23}[J/K] है, जो बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।

इस स्थिरांक के चयन के साथ, तापमान T जिसे हमने परिभाषित किया है, उसे केल्विन स्केल में उसकी सामान्य व्याख्या प्राप्त होती है।