热平衡、温度及其统计定义
热力学温度，被理解为能量和概率之间的联系，源于热系统中宏观状态与微观状态之间的平衡。本内容探讨了如何通过最大化微观状态的数量来定义热平衡，利用数学推导和统计力学框架解释其与玻尔兹曼常数和开尔文温标的关系。
学习目标：
完成本节课程后，学生将能够：
- 理解热力学系统中宏观状态与微观状态之间的关系以及温度的概念。
内容目录：
热接触系统的宏观状态与微观状态
热力学温度：平衡系统的共同属性
热接触系统的宏观状态与微观状态
要探讨热力学温度的概念，我们首先需要了解热力学系统如何相互作用及其与宏观状态和微观状态的关系。让我们考虑两个彼此热接触但与外界隔离的系统。
一方面，由于系统保持隔离，总能量 E=E_1+E_2 是恒定的，因此系统的宏观状态可以由以下三种能量之一来定义：E, E_1 和 E_2。另一方面，如果我们谈论微观状态，能量为 E_1 的系统有 \Omega_1(E_1) 个微观状态，同样，能量为 E_2 的系统有 \Omega_2(E_2) 个微观状态。因此，组合系统共有 \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) 个微观状态。
关于热力学平衡的假设
如果每个系统都可以交换能量直到实现热力学平衡，在某个时刻 E_1 和 E_2 将趋于稳定值。此时我们需要牢记的关键思想是，最有可能发生的宏观状态是最大化微观状态数量的宏观状态。由此得出以下假设：
- 每个微观状态发生的概率相同。
- 系统的内部动态使得微观状态始终在不断变化。
- 经过一段时间后，系统将探索所有可能的微观状态，并在每个状态中停留相同的时间。
这些假设表明，系统将大部分时间处于代表最多微观状态的宏观状态，因此这些状态是最可能的。在通常研究的热力学系统中，“最可能”这一表达实际上意味着“几乎绝对不可能不发生”。表面上看这是一种统计声明，但实际上却几乎是一个确定性的结论。
热力学温度：平衡系统的共同属性
对于我们所讨论的两个系统在热接触中的问题，最可能的能量分布是最大化微观状态数量 \Omega_1(E_1)\Omega_2(E_2) 的分布。由于系统规模巨大，我们可以利用微积分工具作为良好的近似来推导这些结论的含义并推导其属性。
如果对其中一个系统的能量进行无穷小的变化，并寻找使微观状态数量最大化的情况，我们将得到以下推导：
\begin{array}{rl} (1) & \dfrac{d}{dE_1}\left[ \Omega_1(E_1) \Omega_2(E_2) \right] = 0 \\ & \text{；因为微观状态数量被最大化} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1(E_1)}{dE_1} \Omega_2(E_2) + \Omega_1(E_1) \dfrac{d\Omega_2(E_2)}{E_2}\dfrac{dE_2}{dE_1} = 0 \\ & \text{；应用乘积规则和链式法则} \\ \\ (2) & E = E_1 + E_2 = \text{常量} \\ & \text{；热接触系统的总能量} \\ \\ \equiv & E_1 = E - E_2 \\ \\ (3) & \dfrac{dE_2}{dE_1} = \dfrac{d}{dE_1} (E - E_1) = -1\;\text{；由 (2)} \\ \\ (4) & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1}\Omega_2 - \Omega_2 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} = 0\;\text{；由 (1) 和 (3)} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} \Omega_2 = \Omega_1 \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{1}{\Omega_1} \dfrac{d\Omega_1}{dE_1} = \dfrac{1}{\Omega_2} \dfrac{d\Omega_2}{dE_2} \\ \\ \equiv & \dfrac{d\ln(\Omega_1)}{dE_1} = \dfrac{d\ln(\Omega_2)}{dE_2} \end{array}
因此，我们可以理解，热平衡是两个系统在长时间热接触中最可能的宏观状态，这是最大化微观状态数量的状态。如果发生这种情况，从上述推理可以得出，这两个系统存在一个共同的量，我们称之为温度。
热力学温度的定义
当这种情况发生时，我们说两个系统“处于相同的温度”，并将 d\ln\Omega/dE 与温度 T 联系起来（即 T_1 = T_2）。因此，热力学温度定义为：
\displaystyle \frac{1}{k_B T} = \frac{d\ln\Omega}{dE}
其中 k_B=1.3807\cdot 10^{-23}[J/K] 是玻尔兹曼常数。
通过这种常数的选择，我们定义的温度 T 可以获得其通常在我们所知的开尔文温标中的解释。