معادلة القطوع الزائدة واستنتاجها

الملخص:
في هذا الدرس، سنستكشف التعريف الهندسي للقطع الزائد، ونقارنه بالقطع الناقص، وسنستنتج معادلته العامة والقياسية.

أهداف التعلم:
في نهاية هذا الدرس، سيكون الطالب قادرًا على:

تعريف ماهية القطع الزائد من الناحية الهندسية.
استنتاج المعادلة العامة والقياسية للقطوع الزائدة من تعريفها الهندسي.
التعرف على الفروقات بين القطوع الناقصة والقطوع الزائدة من حيث المسافات البؤرية.

جدول المحتويات
التعريف الهندسي للقطع الزائد
استنتاج معادلة القطوع الزائدة
المعادلة العامة للقطوع الزائدة
المعادلة القياسية للقطوع الزائدة

التعريف الهندسي للقطع الزائد

سبق أن قمنا بمراجعة معادلة القطوع الناقصة والدوائر واكتشفنا أنها تأخذ الشكل $ax^2 + bx + cy^2 + dy + e = 0$ ، حيث أن $a$ و $b$ قيمتان غير صفريتين ولهما نفس الإشارة. لقد ذكرنا أنه إذا كانت $a$ و $b$ تحملان إشارات متعاكسة، فإننا بدلاً من القطع الناقص نحصل على قطع زائد. لم نقل شيئًا إضافيًا عن هذه المنحنيات، ولكن الآن سنكمل هذا النقص. سنعرّف القطع الزائد هندسيًا، ومن خلال ذلك سنستنتج المعادلة العامة والقياسية للقطوع الزائدة.

من ناحية، يُعرّف القطع الناقص على أنه مجموعة كل النقاط التي يكون مجموع مسافاتها عن نقطتين تُسمَّيان البؤرتين ثابتًا. وبالمثل، يُعرَّف القطع الزائد على أنه مجموعة كل النقاط التي يكون الفرق المطلق بين مسافاتها عن البؤرتين ثابتًا.

بمعنى آخر، تتحقق العلاقة التالية:

$|d(f_1,P) - d(f_2,P)| = 2a$

حيث أن $a$ عدد حقيقي ثابت.

ينتج عن هذا فعليًا معادلتين: $d(f_1,P) - d(f_2,P) = 2a$ و $d(f_2,P) - d(f_1,P) = 2a$ ، إحداهما لكل فرع من فروع القطع الزائد.

استنتاج معادلة القطوع الزائدة

من التعريف الهندسي، يمكننا الحصول على التمثيل الجبري للقطوع الزائدة. سنبدأ من الحالة الأبسط، ومن هناك سنعمم الاستنتاجات. سيكون منطقنا مبنيًا على فرع واحد من القطع الزائد، والفرع الآخر سيتم التعامل معه بنفس المنطق.

استنتاج الشكل المبسط

لنعتبر نقطتين بؤريتين $f_1 = (-c,0)$ و $f_2 = (c,0).$ النقطة $p = (x,y)$ ستكون على القطع الزائد إذا:

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$

ومن هنا يمكننا التوصل إلى المنطق التالي:

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a$	; معادلة القطوع الزائدة
$\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} - \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} = 2a$	; توسيع المربعات
$\sqrt{x^2 + 2xc + c^2 + y^2} = 2a + \sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; إعادة توزيع الحدود
$\color{red}{x^2} + 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2} = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} + \color{red}{x^2} - 2xc + \color{purple}{c^2} + \color{violet}{y^2}$	; تربيع كلا الطرفين
$2xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2} - 2xc$	; حذف الحدود المتشابهة
$4xc = 4a^2 + 4a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; إعادة توزيع الحدود المتشابهة
$xc = a^2 + a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; تبسيط الحدود المتشابهة
$xc - a^2 = a\sqrt{x^2 - 2xc + c^2 + y^2}$	; تبسيط الحدود المتشابهة
$x^2c^2 -2xca^2 + a^4 = a^2(x^2 - 2xc + c^2 + y^2)$	; تربيع كلا الطرفين
$x^2c^2 \color{red}{-2xca^2} + a^4 = a^2x^2 \color{red}{- 2xca^2} + a^2c^2 + a^2y^2$	; توسيع الأقواس
$x^2c^2 + a^4 = a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2$	; حذف الحدود المتشابهة
$x^2(c^2 - a^2) - a^2y^2 = a^2c^2 - a^4 = a^2(c^2 - a^2)$	; إعادة ترتيب الحدود
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2 - a^2} = 1$	; إعادة ترتيب الحدود

للتعبير الأخير هذا، كما هو الحال مع القطوع الناقصة، نأخذ $b^2=c^2-a^2$ ونصل إلى معادلة القطوع الزائدة:

$\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1 }$

المعادلة العامة للقطوع الزائدة

لاستنتاج المعادلة العامة للقطوع الزائدة، يكفي أن نأخذ المعادلة التي استنتجناها للتو ونطبق تحويلات الموقع:

x\longmapsto x-h

y\longmapsto y-k

وبذلك نحصل تلقائيًا على المعادلة العامة للقطع الزائد مع مركز في $(h,k)$

$\displaystyle \color{blue}{ \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1 }$

المعادلة القياسية للقطوع الزائدة

والآن إذا أخذنا المعادلة العامة للقطوع الزائدة وقمنا بتوسيعها، سنصل إلى التعبير القياسي:

$\displaystyle \left(\frac{x-h}{a}\right)^2 - \left(\frac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; المعادلة العامة للقطوع الزائدة
$b^2 (x^2 - 2xh + h^2) - a^2(y^2-2ky + y^2) = a^2b^2$	; توسيع المربعات وضرب جميع الحدود في $a^2b^2$
$b^2 x^2 - 2hb^2x + h^2b^2 - a^2 y^2+ 2k a^2 y - a^2 k^2 = a^2b^2$	; توسيع الأقواس
$b^2 x^2 - (2hb^2) x - a^2 y^2+ (2k a^2) y - (a^2b^2 + a^2 k^2 - h^2b^2) = 0$	; تجميع الحدود المتشابهة

هذا التعبير الأخير له الشكل $Ax^2+Bx + Cy^2 + Dy + E = 0,$ حيث أن $A$ و $C$ دائمًا غير صفريين ولهما إشارات متعاكسة، كما سبق أن أشرنا عندما درسنا القطوع الناقصة.