Forma general y canónica de las parábolas

En la clase anterior vimos que las parábolas se pueden expresar algebráicamente a traves de la ecuación general de las parabolas como.

(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)

Donde el par (x_0,y_0) es la posición del vértice y f es la distancia focal. Si f \gt 0 entonces el foco está a una distancia f sobre el vértice, y si f\lt 0, entonces el foco estará a una distancia f por debajo del vértice.

Tambien hemos visto que la ecuación de las parábolas llevada a su forma canónica es equivalente a un polinomio de grado 2.

y(x) = ax^2 + bx + c, con a\neq 0

Caracterizar una parábola consiste en revelar la siguiente información.

• Las coordenadas del vértice
• Las coordenadas del foco
• La ecuación de la directriz
• La ecuación del eje de simetría
• Los cortes con el eje x (si existen)
• Finalmente, construir un esbozo del gráfico con la información recolectada.

Caracterización de Parábolas desde la Ecuación General

Si tienes la parábola descrita a través de la ecuación general, entonces ya tienes casi toda la información necesaria para completar la caracterización, sólo los cortes con el eje x necesitará análisis adicional.

(x-x_0)^2 =4f(y-y_0)

De aquí ya tienes:

• Vértice: El punto de coordenadas (x_0,y_0)
• Posicion focal: a f unidades sobre el vértice
• Foco: el punto de coordenadas (x_0,y_0 + f)
• Directriz: la recta de ecuación y= y_0 - f
• El eje de simetría: la recta de ecuación x= x_0

Para encontrar los cortes con el eje x, deberás pasar la ecuación general a su forma canónica, igualar el polinomio de segundo grado resultante a cero. Si existen soluciones, tales serán los cortes con el eje x.

Caracterización de Parábolas desde la Ecuación Canónica

Cuando la ecuación de las parábolas se presenta en forma canónica tienes dos posibilidades: 1) Caracterizar transformando a la ecuación general o 2) Usando la simetría y los cortes con el eje x. Ambos métodos tienen sus virtudes. El segundo es generalmente más rápido, pero las parábolas no siempre cortan el eje X, el primero es mas engorroso pero también, como veremos más adelante, es sencillo de automatizar. Nosotros examinaremos ambas alternativas para que puedas elegir según tus preferencias y necesidades qué camino tomar.

Transformando a la ecuación general

La transformación a la forma general se hace a través del siguiente razonamiento, donde a,b,c\in\mathbb{R} y a\neq 0.

A partir de esto, podemos extraer toda la información que teniaos de la ecuación general relacionando sus parámetros con los de la ecuación canónica, de este modo tenemos:

• Vértice: El punto de coordenadas (x_0,y_0) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} \right)
• Posicion focal: a f = \dfrac{1}{4a} unidades sobre el vértice
• Foco: el punto de coordenadas (x_0,y_0 + f) = \left(-\dfrac{b}{2a}, c -\dfrac{b^2}{4a} + \dfrac{1}{4a}\right) =\left(-\dfrac{b}{2a}, c +\dfrac{1-b^2}{4a}\right)
• Directriz: la recta de ecuación y=y_0 - f= c -\dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{1}{4a} = c -\dfrac{1 + b^2}{4a}
• El eje de simetría: la recta de ecuación x= x_0 = -\dfrac{b}{2a}

Y desde aquí, la caracterización de las parábolas se realiza como ya hemos visto usando la ecuación general.

Usando la simetría y los cortes con el eje x

Cuando tenemos la ecuación de las parábolas escrita en forma canónica y=ax^2 + bx+c vemos que es relativamente sencillo calcular sus cortes con el eje x, basta con resolver la ecuación

ax^2 + bx + c = 0

Cuando esto es posible, obtenemos cortes x_1 y x_2 dados por

x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Como las parábolas son simétricas, tendremos que el eje de simetría tendrá ecuación:

x = x_0 = \dfrac{x_1 + x_2}{2}= -\dfrac{b}{2a}

El eje de simetría pasa necesariamente por el vértice de la parábola, cuyas coordenadas serán

(x_0, y_0) = (x_0, y(x_0)) = \left( -\dfrac{b}{2a}, y\left(-\dfrac{b}{2a}\right) \right)

Donde

y_0 = y\left(-\dfrac{b}{2a} \right) = a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\dfrac{b}{2a}\right) + c = \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{b^2}{2a} + c = c - \dfrac{b^2}{4a}

Así es como llegamos a las coordenadas del vértice que ya conociamos por los otros medios

(x_0, y_0) = \left( -\dfrac{b}{2a},c - \dfrac{b^2}{4a} \right)

La posición focal es, como ya vimos f=\dfrac{1}{4a}, y a partir de esto ya podemos calcular la posición de la directriz, el foco y toda la información que ya teníamos desde la ecuación general.

Caracterización automática con Excel

Habiendo realizado todos estos razonamientos, ahora es muy sencillo automatizar la caracterización de cualquier parábola a través de excel. Puedes encontrar un ejemplo aquí.