Introdução

Se a cinemática que revisamos nas aulas anteriores nos permite descrever o movimento dos corpos, através das leis de Newton obtemos a dinâmica que nos permite raciocinar sobre as causas do movimento (ou mudanças de estado de movimento). Aqui as ideias de posição e tempo são importantes, porque em termos destes definimos a velocidade e a aceleração, mas a elas se adiciona uma adicional: a massa.

A massa é importante para definir o estado de movimento dos corpos, ou momento linear. Diz-se que o momento linear de um corpo, \vec{p}, é o produto da massa pela velocidade

\Large \vec{p}=m\vec{v}

O estado de movimento é a ideia-chave por trás das leis de Newton.

As leis de Newton sobre a Dinâmica dos corpos

Primeira Lei (da Inércia):

Na ausência de agentes externos, todos os corpos mantêm constante seu estado de movimento.

A primeira das leis de Newton tem a genialidade de estabelecer duas questões de profunda importância para a física. A primeira e mais evidente: estabelece o momento linear como uma magnitude conservada; e a segunda e igualmente importante, mas muito mais implícita, nos permite estabelecer o que é um observador inercial.

Existem muitas formas de definir um observador, mas entre todos eles existe uma classe especial que chamamos de observador inercial. A diferença reside em que, da perspectiva de um observador inercial, na ausência de um agente externo o estado de movimento dos corpos é uma magnitude conservativa.

O que distingue um observador inercial de outro que não o é?

A diferença reside em que, da perspectiva de um observador inercial, na ausência de um agente externo o estado de movimento dos corpos é uma magnitude conservativa.

Segunda Lei (da Força e Massa):

Da perspectiva de um observador inercial, a força impressa por um agente externo sobre um corpo é equivalente à variação de seu estado de movimento.

Em outras palavras, se sobre um corpo se aplica uma força \vec{F} então se terá que.

\Large \displaystyle \vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}

A conhecida relação “força igual a massa vezes aceleração”, \vec{F}=m\vec{a}, nada mais é do que uma consequência da Segunda Lei de Newton, que se obtém a partir das propriedades das derivadas e da conservação da massa.

\begin{array}{rl} \vec{F} & =\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d}{dt}\left(m\vec{v} \right) \\ \\ & =\displaystyle \underbrace{\frac{dm}{dt}}_{= 0}\vec{v} + m \underbrace{\frac{d\vec{v}}{dt}}_{= \vec{a}} = m\vec{a} \end{array}

Neste último passo considerou-se que dm/dt=0 porque se assume que não se está adicionando nem retirando massa, e d\vec{v}/dt é a definição da aceleração.

Massa inercial

A segunda das leis de Newton permite também precisar o conceito de massa. Aqui ela aparece como uma constante de proporcionalidade entre a força e a aceleração. Quanto maior a massa, maior terá que ser a força impressa para atingir a mesma aceleração; como consequência disso, entende-se a massa como uma medida da inércia dos corpos e daí o nome de massa inercial. Se sobre dois corpos em repouso relativo a um observador inercial atua a mesma força (sem troca de matéria), então se tem que

m_1 \vec{a}_1 = \vec{F} = m_2 \vec{a}_2

A partir disso podemos comparar as massas dos corpos através do quociente das magnitudes das acelerações

\displaystyle \frac{m_1}{m_2} = \frac{\|\vec{a_2}\|}{\|\vec{a_1}\|}

Portanto, se m_2 fosse “um quilograma padrão”, então basta observar o quociente \|\vec{a}_2\|/\|\vec{a}_1\| para saber quantos quilogramas tem m_1.

Terceira Lei (da Ação e Reação):

Se um corpo A exerce uma força “ação” sobre outro B, então B exerce uma força “reação” sobre A de igual magnitude mas em direção contrária.

A terceira lei de Newton não apenas permite falar com maior precisão sobre as forças, mas também estabelece de forma explícita que os agentes externos que aplicam uma força também são objetos físicos suscetíveis a elas:

• O agente externo é um objeto físico suscetível de ser afetado pelas forças.
• As forças nunca ocorrem isoladamente, mas sim em pares chamados “pares de ação-reação”, e a soma vetorial desses pares é sempre nula.
• Os pares de ação-reação ocorrem sempre em corpos diferentes, de modo que a força total sobre um corpo não é necessariamente nula.

Dado que os pares ação-reação sempre se executam sobre uma linha reta, isso traz consigo o que veremos mais adiante, que é a conservação do momento angular.

Além dessas questões, a terceira lei de Newton diz outras coisas de forma implícita:

• Para que se possa aplicar uma força líquida não nula sobre um corpo, é necessário pelo menos um segundo objeto.
• A ação e a reação ocorrem simultaneamente. Dado que dois corpos podem interagir à distância (através da gravitação ou do eletromagnetismo), tem-se que necessariamente na mecânica de Newton deve existir uma forma de transmitir a informação de um ponto a outro com uma velocidade infinita. Sabemos que tal coisa é impossível, porque segundo a relatividade especial a velocidade máxima é a da luz no vácuo, de modo que dizemos que esta terceira lei é uma aproximação da realidade.

Como usar as leis de Newton?

Para entender como se utilizam as leis de Newton de modo que seu significado seja claro, o melhor é recorrer a exemplos baseados em situações concretas e na construção de diagramas de corpo livre.

Diagramas de Corpo Livre

Um diagrama de corpo livre é um esquema pictórico onde representamos as forças que atuam sobre um corpo. Em função do que revisamos sobre o peso, podemos construir os seguintes exemplos de diagramas de corpo livre.

Um corpo apoiado sobre um plano horizontal

Devido à gravidade, todos os corpos com massa sentem uma força dirigida ao solo. Através da segunda Lei de Newton, observamos que tal força é dada pelo produto da massa e da aceleração da gravidade \vec{g}=-g\hat{y}, onde g=9,81[m/s^2].

\vec{F}_{peso}=m\vec{g} = -mg\hat{y}

O que entendemos como “o peso” de um corpo é na realidade a magnitude desta força de peso que acabamos de ver.

{peso}=\|\vec{F}_{peso}\|= mg

Quando deixamos um bloco sobre um plano horizontal, aparece um par de forças ação-reação: estas são a força peso e a normal. Tais forças são iguais em magnitude, mas opostas em direção, de modo que a soma vetorial das forças sobre o corpo é zero e, portanto, seu estado de movimento permanece constante no tempo.

Deslizamento sobre um plano horizontal

Imaginemos que agora o bloco está atado a uma corda e puxamos dele como mostrado no seguinte diagrama de corpo livre:

Aqui observamos a aparição de dois pares ação-reação: por um lado temos os pares associados às forças peso e normais dos corpos, há um terceiro par ação-reação associado aos extremos da corda com que o sujeito puxa o bloco, e por último, um par associado à força impressa \vec{F}_1 e à força de atrito, \vec{F}_{atrito}, com um valor máximo de \mu\|\vec{F}_\textnormal{normal}\|.

Coeficiente de atrito e as forças de atrito

Aqui \mu é o coeficiente de atrito que expressa a oposição ao deslizamento entre duas superfícies; o coeficiente de atrito tem duas versões: uma cinética (\mu_c) e outra estática (\mu_e). O atrito estático aparece quando o corpo permanece em repouso, enquanto o cinético aparece uma vez que o corpo começou a deslizar.

\begin{array}{lcr}\mu = \left\{\begin{array}{lll} \mu_e & ;& \textnormal{Corpo em repouso} \\ \\ \mu_c & ;& \textnormal{Corpo em movimento} \end{array}\right. & ; & \textnormal{Onde } \mu_c \leq \mu_e\end{array}

A força de atrito se opõe ao movimento do corpo que a sofre e pode ser modelada (de forma simplificada) através da seguinte expressão

\vec{F}_\textnormal{atrito} ( \vec{F}_1 ) = \left\{ \begin{array}{lll} - \vec{F}_1 & ; & \|\vec{F}_1\| \leq \mu_e \|\vec{F}_\textnormal{normal}\| \\ \\ -\mu_c \|\vec{F}_\textnormal{normal}\|\hat{x} & ; & \mu_e \|\vec{F}_\textnormal{normal}\| \lt \|\vec{F}\| \end{array} \right.

Quando a força impressa é inferior ou igual ao atrito estático máximo, o corpo permanece em repouso relativo ao solo. Se a força impressa é superior ao atrito estático, então o corpo se põe em movimento e o atrito se torna cinético, a força líquida sobre o corpo é portanto: \vec{F}_{líquida} = \vec{F}_1 - \mu_c\|\vec{F}_\textnormal{normal}\|\hat{x}, e, portanto, se move com uma aceleração \vec{a} = \vec{F}_{líquida}/M. Se uma vez posto o corpo em movimento, a força impressa se iguala com o atrito cinético, então o corpo se move com velocidade constante.

Deslizamento sobre um plano inclinado

Quando um objeto desliza por um plano inclinado em um ângulo \alpha tem-se o seguinte diagrama de forças:

Aqui e por conveniência, escolheu-se um sistema de referência orientado de modo que a coordenada horizontal esteja alinhada com o plano de deslizamento. Neste esquema, a força peso se divide em dois componentes: uma paralela e outra perpendicular ao movimento.

• Componente paralela: \vec{F}_{\textnormal{peso},x}=mg\sin(\alpha)\hat{x}
• Componente perpendicular: \vec{F}_{peso,y}=-mg\cos(\alpha)\hat{y}

A força de atrito aparece como reação ao componente paralelo ao movimento da força peso, e a força normal como reação ao componente perpendicular da força peso. Se o componente horizontal da força peso supera o atrito estático máximo, então mudará o estado de movimento do bloco com uma aceleração

\displaystyle \vec{a} = mg\left(\frac{\sin(\alpha) - \mu_c \cos(\alpha)}{m}\right)\hat{x}

Massa suspensa

Uma massa que pendura de uma corda unida a um teto e que permanece em repouso tem o seguinte diagrama de corpo livre:

Uma massa que pendura de uma corda unida a um teto e que permanece em repouso tem o seguinte diagrama de corpo livre:

Sobre a corda há um par de forças que chamamos de “tensões”, se a corda resulta inextensível, estas forças são iguais e opostas. Sobre o bloco também atua um par de forças: o peso e a tensão da corda. Se o bloco se mantém pendurado e em repouso, então o peso e a tensão são opostos e de igual magnitude. Há uma quarta força que não é mostrada aqui, a que mantém unida a corda ao teto; o conjunto dessas quatro forças configuram dois pares ação-reação.

Movimento do pêndulo simples

Uma massa unida a uma corda inextensível, e esta unida a um teto, que oscila em torno a uma posição de equilíbrio devido ao seu próprio peso é o que chamamos de pêndulo simples. Abaixo temos seu diagrama de corpo livre.

Dado que a corda é inextensível, temos que a aceleração radial é zero e, em consequência:

F_{p,\parallel} + T = ma_{\parallel}(t) = 0

Por outro lado, para o componente perpendicular à corda terá

F_{p,\bot}=-mg\sin(\theta) = ma_{\bot}(t)

A partir desta última expressão é possível inferir uma equação diferencial que nos permitirá modelar a posição angular \theta do pêndulo simples no tempo

\displaystyle \frac{d^2\theta(t)}{dt^2} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0

Mas a obtenção desta equação e as inferências que a partir dela podemos fazer é algo que veremos em detalhes mais adiante.

Resolução de problemas usando as leis de Newton

Utilize as leis de Newton para resolver os seguintes problemas:

1. Um bloco de 15[kg] é colocado sobre uma superfície horizontal. Entre o bloco e a superfície há um atrito estático \mu_e=0,55 e um atrito cinético \mu_c=0,31
   1. Qual será a força mínima necessária para que o bloco se ponha em movimento?
   2. Calcule a aceleração do bloco quando este se põe em movimento devido à força obtida no ponto anterior.
2. Um bloco de 12[kg] é colocado sobre um plano inclinável. Se o coeficiente de atrito estático é \mu_e=0,03, determine o ângulo de inclinação máximo para o qual o bloco permanecerá em repouso.
3. Um bloco de 75[kg] sobe com velocidade constante por um plano inclinado 30^o em relação à horizontal devido a uma força que é aplicada horizontalmente sobre ele. Se entre o bloco e a superfície do plano há um coeficiente de atrito cinético \mu_c=0,21, determine a magnitude dessa força aplicada.
4. Considere duas massas m_1 e m_2 unidas por uma corda inextensível e sem massa que passa por uma polia como mostrado na figura. Calcule a aceleração de ambas as massas.
   
5. Uma corda flexível de massa M pendura entre duas paredes formando um ângulo \alpha nos pontos de união. Calcule a tensão da corda sobre o ponto mais baixo.
   
6. Um corpo de massa m dá voltas em círculos sobre o plano x,y com um raio R e uma velocidade angular \omega constante. Calcule a força aplicada sobre a massa.