O Índice de Refração

O índice de refração é definido de um meio como a razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz nesse meio. Esta é uma quantidade adimensional e é geralmente representada pela letra n_k:

n_k=\displaystyle \frac{c}{c_k}

Onde c é a velocidade da luz no vácuo, e c_k é a velocidade da luz no meio k.

Como a luz sempre se move mais lentamente em qualquer meio do que no vácuo, o índice de refração é sempre maior ou igual a 1.

O Princípio de Fermat

A velocidade da luz depende do meio no qual ela viaja. Quanto maior o índice de refração do meio, menor será a velocidade da luz ao viajar por ele; e em relação a isso, enuncia-se o princípio de Fermat:

Quando a luz viaja de um ponto a outro, ela o faz pelo caminho que minimiza o tempo de percurso.

Este princípio se mantém mesmo quando a luz passa por diferentes meios.

A Lei de Snell da Refração da Luz

Com base no estabelecido pelo princípio de Fermat, é possível formular um problema de otimização que nos permitirá determinar o caminho que um raio de luz seguirá ao passar por diferentes meios. Isso é o que leva finalmente à Lei de Snell, cuja formulação e demonstração veremos a seguir.

Suponha que um raio parte de um ponto A e chega a um ponto B, cruzando uma interface que separa dois meios com índices de refração n_1 e n_2, respectivamente. Nosso objetivo será encontrar uma relação que nos permita calcular o caminho do raio de luz seguindo o princípio de Fermat do tempo mínimo de percurso, e para isso, é montado o seguinte diagrama:

O raciocínio começa analisando a forma do tempo de percurso do raio de luz. Temos que:

\begin{array}{rl}{Tempo\,de\,Percurso} & =\displaystyle \frac{{Distância}}{{Velocidade}} \\ \\ & \displaystyle =\frac{{Distância\,no\,meio\,1}}{{Velocidade\,no\,meio\,1}} + \frac{{Distância\,no\,meio\,2}}{{Velocidade\,no\,meio\,2}}\\ \\& =\displaystyle \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{c_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d-x)^2}}{c_2}\end{array}

Feito isso, mantendo fixos os pontos A e B, o tempo de percurso é determinado pelo ponto x em que o raio toca a interface entre os meios. Com isso, podemos definir uma função de tempo t(x) como

t(x) = \displaystyle \frac{1}{c_1}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\sqrt{b^2 + (d-x)^2}

Agora, como o princípio de Fermat estabelece que a luz segue o caminho que minimiza o tempo de percurso, é possível a partir disso encontrar o x que minimiza a função t(x). Estamos diante de um problema de otimização.

Derivando t em relação a x, temos:

\displaystyle \begin{array}{rl}\dfrac{dt}{dx} &\displaystyle = \frac{1}{c_1}\frac{d}{dx}\sqrt{a^2 + x^2} + \frac{1}{c_2}\frac{d}{dx}\sqrt{b^2+(d-x)^2}\\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{2x}{2\sqrt{a^2 + x^2}} + \frac{1}{c_2}\frac{2(d-x)(-1)}{2\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ &\displaystyle = \frac{1}{c_1} \frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}} - \frac{1}{c_2}\frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \end{array}

Agora, observe que:

\begin{array}{rl}\sin(\theta_1) &\displaystyle =\frac{x}{\sqrt{a^2 + x^2}}\\ \\ \sin(\theta_2) &\displaystyle = \frac{(d-x)}{\sqrt{b^2+(d-x)^2}} \\ \\ c_1 & \displaystyle = \frac{c}{n_1} \\ \\ c_2 & \displaystyle = \frac{c}{n_2} \end{array}

Assim, substituindo isso na derivada do tempo, temos:

\displaystyle \frac{dt}{dx} = \frac{n_1}{c} \sin(\theta_1) - \frac{n_2}{c}\sin(\theta_2)

Finalmente, se o ponto x minimiza a função t(x), então a derivada deve ser nula, e temos:

\color{blue}{n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)}

Esta é a Lei de Snell para a refração de um raio de luz que passa entre dois meios, mostrando a relação entre o ângulo de incidência \theta_1 e o ângulo refratado \theta_2.

Refração, Reflexão e Reflexão Total da Luz

Vimos que quando a luz passa de um meio para outro, ela se refrata, mas, em geral, o que ocorre é uma combinação de refração e reflexão; e dependendo dos índices de refração e do ângulo de incidência do raio de luz, a refração pode desaparecer, restando apenas a reflexão.

Suponha que um raio de luz incide de um material a para outro b com índices de refração n_a e n_b, respectivamente. Se n_a \gt n_b, pela Lei de Snell, temos:

\displaystyle \sin(\theta_b) = \frac{n_a}{n_b}\sin(\theta_a)

Como n_a/n_b \gt 1, acontece que \sin(\theta_b) \gt \sin(\theta_a), o que implica que o raio refratado se desvia afastando-se da normal. Isso significa que deve existir algum \theta_a\lt 90^o para o qual \sin(\theta_b)=1 e, portanto, \theta_b=90^o, como mostrado na figura a seguir.

O ângulo de incidência que faz com que o raio se refrate ao longo da interface é conhecido como ângulo crítico e satisfaz a relação:

\displaystyle \sin(\theta_{crítico}) = \frac{n_b}{n_a}

O que equivale a dizer:

\displaystyle \theta_{crítico} = \arcsin\left( \frac{n_b}{n_a} \right)

Se \theta_a \gt \theta_{crítico}, então há reflexão total.

Exercícios:

1. Considere um raio de luz que passa da água para o vidro, como mostrado na figura a seguir:
   
   O índice de refração da água é n_1 = 1,33, e o do vidro é n_2=1,52. Se um raio de luz que passa da água para o vidro incide na interface que separa os dois meios com um ângulo de inclinação de \theta_1 = 60^o em relação à normal, com que ângulo \theta_2 o raio refratado sai? SOLUÇÃO
   Usando a Lei de Snell, temos:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Lei de Snell
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_2) = \frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\sin(\theta_1)\right)
   (2)	n_1=1,33	; Índice de refração da água
   (3)	n_2=1,52	; Índice de refração do vidro
   (4)	\theta_1=60^o	; Ângulo de incidência na interface do raio de luz
   (5)	\displaystyle \theta_2 = \arcsin\left(\frac{1,33}{1,52}\sin(60^o)\right) \approx 49,268^o	; De (1,2,3,4), Ângulo de refração

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2. Três líquidos separados por duas interfaces têm os seguintes índices de refração: n_1=1,33, n_2=1,41 e n_3=1,68, e estão dispostos como mostrado na figura a seguir:Se o raio que vai do meio com índice n_1 para o de n_2 incidir na interface com um ângulo \theta_1=70^o, com que ângulo se refratará ao passar para o meio com índice n_3? SOLUÇÃO
   De forma análoga ao exercício anterior, temos o seguinte raciocínio:

   (1)	n_1 \sin(\theta_1) = n_2 \sin(\theta_2)	; Lei de Snell para a transição do meio n1 para n2
   (2)	n_2 \sin(\theta_2) = n_3 \sin(\theta_3)	; Lei de Snell para a transição do meio n2 para n3
   (3)	n_1 \sin(\theta_1) = n_3 \sin(\theta_3)	; De(1,2)
   \equiv	\displaystyle \sin(\theta_3) = \frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)
   \equiv	\displaystyle \theta_3 = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_3}\sin(\theta_1)\right)

   Finalmente, substituindo os dados, temos:

   
   \displaystyle \theta_3= \arcsin\left(\frac{1,33}{1,68}\sin(70^o)\right) \approx 48,0667^o
   Observe que esse raciocínio nos mostra que podemos fazer os cálculos considerando apenas os meios de entrada e saída do raio, ignorando completamente o que está no meio.
   
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3. Do fundo de uma piscina, um raio de luz é dirigido para a interface entre o ar e a água. Determine o ângulo de incidência para que ocorra uma reflexão total.
   SOLUÇÃO
   O ângulo crítico será dado por:

   \displaystyle \theta_{crítico}= \arcsin\left(\frac{1,00}{1,33}\right) \approx 48,7535^o

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