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Topos Uranos
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表达式与运算符：总结与挑战

摘要

本课结束本课程的第三单元，这一单元讲表达式及其运算符。本课重建一条概念链：从算术运算符到库函数，途经表达式树和每个节点的类型、条件及其代数、短路求值、副作用和求值顺序，以及位；把其中在任何语言中都成立的内容与 C++ 特有的内容区分开；汇总本单元的未定义行为，以及编译器能发现的、检测器能发现的和谁也发现不了的；在结业测评中重复入门测评的各项技能；最后给出六道综合整个单元的挑战题。

学习目标

  1. 根据表达式树和每个节点上的转换，预测本课程中任何表达式的值、类型和作用。
  2. 写出复合条件并对其取反，用短路求值保护一个否则就没有意义的运算。
  3. 识别没有意义的表达式（本单元的未定义行为目录），说出能发现每一种的工具，并把它们改写成没有未定义行为的形式。
  4. 针对给定的计算，在算术、位运算符和数学库之间作出选择，并说明理由。
  5. 在本单元所学内容中，把在任何语言中都成立的内容与 C++ 特有的内容区分开。

本单元的收获

本单元的目标是教人构造其值可以确切预测的表达式：哪个运算先做，结果是什么类型，有什么副作用，哪些表达式没有意义。这一目标已经达成，所依靠的只是导言声明为已知的内容：第 2 单元的类型、它们的取值范围和它们的转换。导言用来提出问题的那个含六个问题的程序，现在可以像编译器那样去读，并逐个表达式地加以修正。

算术运算

算术运算一课确立了五个算术运算符的确切行为。整数除法向零截断，并且只要商有意义，就满足恒等式 (a / b) * b + a % b == a，因此余数不为零时带有被除数的符号；所以 -7 / 2 等于 −3-3，-7 % 2 等于 −1-1，判断奇数要用 n % 2 != 0。这一课把它同欧几里得余数 ((a % b) + b) % b（适用于 b>0b > 0）联系起来，并用二者来分解数量。它教人按照优先级和结合性画出表达式树，并在每个节点上按常用算术转换确定类型。最后讲了没有意义的商（整数除以零，以及最小的整数除以 −1-1）和中间结果溢出：即使最终结果放得下，中间结果溢出也足以构成未定义行为。

关系与逻辑

关系与逻辑一课说明，条件是一个 bool 类型的表达式，在树中有它的位置：关系运算符的结合比算术松，&& 比 || 紧，! 比它们都紧。它教人把陈述翻译成条件，并识别那些能编译、意思却不同的条件，例如 1 < x < 5 和 day == 6 || 7。它说明 && 和 || 只有在第一个操作数不能决定结果时才对第二个操作数求值，而这种短路使人能够用左边的守卫来保护一个运算。最后讲了德摩根律，它对复合条件取反，也讲了它的界限：遇到非数的值时，!(a < b) 并不等价于 a >= b。

赋值、副作用与未定义行为

赋值、副作用与未定义行为一课区分了表达式的值和它的作用：赋值是一个表达式，它的值是所赋的值，并且改变一个变量；x++ 的值是原来的值，而 ++x 的值是新值。它说明表达式树并不规定各分支的计算顺序，因此对同一变量的两个作用，或者一个作用和一次读取，如果彼此之间没有顺序，就会使表达式失去意义；它还准确说明了 C++17 规定了哪些顺序，又留下了哪些未指明。它汇总了四个等级的目录（良定义、实现定义、未指明和未定义），解释了编译器在推理时假定程序没有未定义行为，并针对目录中的每一种情形说明了哪种工具能发现它。

位与数学库

位与数学库一课说明，整数也是一串位：&、| 和 ^ 对每一列施加一个联结词，~ 把所有位取反，移位则乘以或除以 2 的幂，条件是移位的位数既不为负，也不达到类型的宽度。用这些运算符，它构造了查询、置位、清零和翻转某一位的掩码。它提醒说，这些运算符的结合比关系运算符松，因此 x & 1 == 0 问的并不是看上去的问题，而且 ^ 不是乘方。最后讲了库：<cmath>、<numbers>、<numeric> 和 <bit> 提供正确且经过检验的计算，各有自己的前置条件，例如绝对值的前置条件：最小的整数没有绝对值。