算术运算 · Topos Uranos

摘要

算术表达式并不像阅读时那样从左到右计算，而是按照一个隐藏的结构即它的树来计算，这棵树由运算符的优先级、结合性和括号决定；在这棵树的每个节点上，操作数的类型决定进行哪种运算，因此 7 / 2 的值是 3，而 7 / 2.0 的值是 3.5。本课研究 C++ 的五个算术运算符在整数和实数上的用法；整数除法和余数，自 C++11 起它们向零截断，由此可知余数与被除数同号，并且在被除数为负时与欧几里得除法的余数不同；求欧几里得余数的方法；表达式树；操作数类型不同时结果的类型；以及整数算术表达式失去意义的两种方式：除以零和在中间计算中溢出。

学习目标

计算 C++ 中整数除法的商和余数（包括操作数为负的情形），并把它们与欧几里得除法的商和余数联系起来。
按照优先级和结合性画出算术表达式的树，并计算它的值。
预测不同类型操作数之间运算结果的类型。
用整数除法和余数分解数量：一个数的各位数字、以小时和分钟表示的时长、星期几。

算术运算符

C++ 有五个二元算术运算符：加法 +、减法 -、乘法 *、除法 / 和取余 %；此外还有一元负号，它改变其唯一操作数的符号，如 -x，以及一元正号 +x，它让操作数保持原样。前四个适用于整数和实数；取余只适用于整数。然而，同样的写法并非在所有情况下都表示同一种运算：如果 / 的两个操作数都是整数，这种除法就是整数除法，其结果是整数，即去掉小数部分的商；如果其中有一个是实数，除法就是实数除法。字符、布尔值、类型转换与常量一课展示了这条规则最明显的后果：double r{7 / 2}; 存储的是 3，因为在结果转换为实数之前，除法已经在整数之间完成了。

例题两个整数上的五个运算符

程序把五个运算符作用于 17 和 5，并用一个实数被除数重复除法。

C++ 程序

#include <print>int main(){    const int a{17};    const int b{5};    std::println("{} + {} = {}", a, b, a + b);    std::println("{} - {} = {}", a, b, a - b);    std::println("{} * {} = {}", a, b, a * b);    std::println("{} / {} = {}", a, b, a / b);    std::println("{} % {} = {}", a, b, a % b);    const double x{17.0};    std::println("{} / {} = {}", x, b, x / b);}

输出

17 + 5 = 2217 - 5 = 1217 * 5 = 8517 / 5 = 317 % 5 = 217 / 5 = 3.4

17 除以 5 得 3，余 2：这就是把 17 个物体按每组 5 个分组时的商和余数。最后一行用一个实数除以一个整数，得到 3.4。需要注意，std::println 把实数 17.0 写成“17”：空占位符写出值的最短表示，因此写出的内容不会透露类型；要看出类型，可以用 {:.1f} 要求写出小数。

运算符 % 不接受实数。写 7.5 % 2 不是程序运行时才发现的逻辑错误，而是编译错误：编译器指出，类型为 double 和 int 的操作数对该运算符无效。

C++ 程序

#include <print>int main(){    std::println("{}", 7.5 % 2);}

编译器错误信息

main.cpp: In function ‘int main()’:main.cpp:5:28: error: invalid operands of types ‘double’ and ‘int’ to binary ‘operator%’    5 |     std::println("{}", 7.5 % 2);      |                        ~~~ ^ ~

实数除法的余数是存在的，它由头文件 <cmath> 中的函数 std::fmod 计算，这将在位与数学库一课中与乘幂一起学习：C++ 没有乘幂运算符，2 ^ 3 的值不是 8，而是另外的东西，那里会加以解释。