Натуральные числа и аксиомы Пеано

Аксиомы Пеано для натуральных чисел

Натуральные числа, называемые также целыми положительными числами, служат нам для счёта и измерения. Они самым естественным образом возникают в операции счёта, простейшей в арифметике. Они определяются аксиомами Пеано: принимается, что существует множество, обозначаемое $\mathbb{N}$, элементы которого называются натуральными числами, с выделенным элементом $1$ и функцией $S$, называемой функцией следования, которая каждому натуральному числу $n$ сопоставляет другое натуральное число $S(n)$, и что выполняются пять следующих аксиом. Понятия множества, функции и инъективной функции, участвующие в них, определяются в уроке о множествах, отношениях и функциях.

1. $1$ является натуральным числом: $1 \in \mathbb{N}$.
2. $S$ является функцией из $\mathbb{N}$ в $\mathbb{N}$: если $n$ есть натуральное число, то и его последователь $S(n)$ является натуральным числом.
3. $1$ не является последователем никакого натурального числа: $S(n) \neq 1$ для всякого $n$ из $\mathbb{N}$.
4. $S$ инъективна: если $S(n) = S(m)$, то $n = m$.
5. Если множество $A$ натуральных чисел содержит $1$ и для любого $k$ из $A$ содержит также $S(k)$, то $A$ есть множество всех натуральных чисел: $A = \mathbb{N}$.

Изучая аксиомы Пеано, мы замечаем, что символ $1$ есть лишь обозначение, указывающее на конкретное натуральное число: то, которое обладает этими свойствами. Так же как $1$ обозначает первое натуральное число, для обозначения его последователей мы используем привычные нам символы:

Таким образом, символы $2, 3, 4, \ldots$ являются абстрактными сущностями, обозначающими последователей $1$, идущих один за другим. Совокупность, образованная $1$ и всеми ими, есть множество натуральных чисел:

Говорят также, что натуральные числа образуют последовательность, последовательность натуральных чисел: