简介

我们已经研究了折射的工作原理; 也就是说，当光从一种介质进入另一种介质时会发生什么。但我们所有的研究都假设分隔介质的界面是平面。然而，无论是在自然界还是在实际应用中，球面界面上的折射现象并不罕见。例子包括人眼（以及几乎所有动物的眼睛）和大多数在日常生活和工业应用中使用的光学设备。

在下图中，我们看到透镜是如何通过两个球面表面构成的。

为了详细研究这类设备，有必要回顾光在通过球面界面从一种介质进入另一种介质时的行为。

球面界面的物体-图像关系

我们将开始研究光通过球面界面从一种介质进入另一种介质时的行为。为此，我们将考虑一个半径为R的球体，该球体由折射率为n_b的材料制成，浸入折射率为n_a.的介质中。

角度关系的提取

如果我们分析此图中的角度，会注意到：

\begin{array}{rll} {(1)}& \theta_a & =\alpha + \phi \\ \\ {(2)}& \phi & =\beta + \theta_b \end{array}

证明

第一个方程是从三角形的内角之和等于两个直角的事实得出的：

\begin{array}{rl} & \alpha + \phi + (\pi - \theta_a) = \pi\\ \\ \equiv & \alpha + \phi - \theta_a = 0 \\ \\ \equiv & \color{blue}{\theta_a = \alpha + \phi} \end{array}

第二个方程类似地得出：

\begin{array}{rl} & \beta + \theta_b + (\pi - \phi) = \pi\\ \\ \equiv & \beta + \theta_b - \phi = 0\\ \\ \equiv & \color{blue}{\phi = \beta + \theta_b } \end{array}

引入斯涅尔定律

从图中，我们还可以得到以下表达式：

\begin{array}{rll} {(3)}&\tan(\alpha) &=\displaystyle \frac{h}{s+\delta}\\ \\ {(4)}&\tan(\beta) &=\displaystyle \frac{h}{s^\prime - \delta}\\ \\ {(5)}&\tan(\phi) &=\displaystyle \frac{h}{R - \delta} \end{array}

根据斯涅尔定律，我们有

\begin{array}{rl} {(6)} & n_a\sin(\theta_a) = n_b \sin(\theta_b)\end{array}

现在，如果我们采用\theta_a和\theta_b都很小的近似值，那么\alpha, \beta和\phi也会很小，并且：

从图中，我们还可以得到以下表达式：

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) &\approx \theta_a \\ \\ \sin(\theta_b) &\approx \theta_b \\ \\ \delta &\approx 0 \\ \\ \tan(\alpha) &\approx \alpha \\ \\ \tan(\beta) &\approx \beta \\ \\ \tan(\phi) &\approx \phi \end{array}

然后，根据这一点和斯涅尔定律，我们可以得出：

\begin{array}{rl} {(7)} & n_a \theta_a \approx n_b \theta_b \\ \\ \equiv & \theta_b \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b} \theta_a \end{array}

现在，根据(7)、(1)和(2)，我们可以得到

\begin{array}{rl} {(8)} & \phi - \beta \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ \equiv & \phi \approx \beta + \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ {}\equiv & n_b\phi \approx n_b\beta + n_a \alpha + n_a\phi \\ \\ \equiv & \color{blue}{n_a \alpha + n_b\beta \approx (n_b - n_a) \phi } \end{array}

最后，根据(8)、近似值和(3)、(4)、(5)式，我们得到：

\begin{array}{rl} {(9)} & \displaystyle n_a \left( \frac{\color{red}{h}}{S + \underbrace{\delta}_{\to 0}} \right) + n_b \left(\frac{\color{red}{h}}{S^\prime - \underbrace{\delta}_{\to 0} } \right) \approx (n_b - n_a) \left(\frac{\color{red}{h}}{R-\underbrace{\delta}_{\to 0}}\right) \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \frac{n_b - n_a}{R} } \end{array}

最后这个方程我们称之为球面界面的物体-图像关系。

通过球面界面折射在另一侧形成的扩展图像

现在让我们看看当我们将点光源替换为扩展物体时会发生什么。这在下图中有所说明：

前面的分析已经表明了S和S^\prime,之间的关系，现在我们只需要找到物体和图像大小之间的关系。

从图中，我们可以看到：

\begin{array}{rl} \tan(\theta_a) & =\displaystyle \frac{y}{S} \\ \\ \tan(\theta_b) & =\displaystyle - \frac{y^\prime}{S^\prime} \end{array}

我们将把这一点与斯涅尔定律结合起来

n_a\sin(\theta_a) = n_b\sin(\theta_b).

为此，我们将基于以下事实，即对于小角度，近似适用

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) & \approx \tan(\theta_a) \\ \\ \sin(\theta_b) & \approx \tan(\theta_b) \end{array}

因此我们可以写成

\begin{array}{rl} &\displaystyle n_a \frac{y}{S} \approx- n_b \dfrac{y^\prime}{S^\prime} \\ \\ \equiv & \displaystyle \dfrac{y^\prime}{y} \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \\ \\ \end{array}

现在，回想我们在球面镜中看到的内容，我们有类似的东西。在这一点上，我们可以（重新）定义放大因子m为：

m=\displaystyle \frac{y^\prime}{y}

因此：

\displaystyle \color{blue}{m\approx -\frac{n_a S^\prime}{n_b S}}

总结

总而言之，到目前为止，我们已经得出了两个结果，这些结果使我们能够推断出当光从物体发出并通过球面界面时，图像是如何形成的。这些方程如下：

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{n_a}{S} + \dfrac{n_b}{S^\prime} & \approx \dfrac{n_b - n_a}{R} \\ \\ m & \displaystyle \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \end{array}

通过这两个方程，你可以计算图像的位置，以及图像的方向和大小，这无论界面是凹面还是凸面都适用。然而，在这一点上，有必要说明符号约定。

符号约定

通过这两个方程，你可以计算图像的位置，以及图像的方向和大小，这无论界面是凹面还是凸面都适用。然而，在这一点上，有必要说明符号约定。

界面将空间分为两部分，一部分是物体所在的位置，另一部分是图像所在的位置。基于此，我们有：

• 物体位置S:如果在物体侧为正，在图像侧为负。
• 图像位置S^\prime和曲率半径R:如果在图像侧为正，在物体侧为负。
• 物体和图像的大小，y和y^\prime:如果在光轴上方为正，在光轴下方为负。

球面界面的极限情况：平面界面

我们为球面界面开发的所有内容也有助于更好地理解平面界面。实际上，我们可以将平面界面理解为具有非常大曲率半径的球面界面的一部分；事实上，如果我们在球面界面的物体-图像关系上取极限，当曲率半径趋于无限大时，我们有：

\displaystyle \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime} = \lim_{R\to \infty} \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \lim_{R\to \infty} \frac{n_b - n_a}{R} = 0

如果我们根据这一点计算放大因子，我们得到：

m=1

也就是说，图像保持其大小和方向，变化的是其观察到的位置。

练习

1. 在一根圆柱形玻璃棒前面放置一个粒子，如下图所示如果粒子距离玻璃棒30[厘米]，且棒的顶端为大约半径为R=1,5[厘米],的球面，计算玻璃棒内形成的图像位置。
2. 考虑上一个练习中的同一根玻璃棒，但这次它在水下。如果在距其30[厘米]的相同距离处放置一根高度为1[厘米]的针，计算图像的位置和高度。
3. 一个人看着泳池的底部，试图估算其深度。作为参考，他使用了一根画在池底的箭头。真实深度和表观深度之间有什么关系？