椭圆和圆的方程

摘要：
本课解释了如何根据椭圆的几何定义推导椭圆的方程，该定义规定椭圆上任意一点到两个固定焦点的距离之和是恒定的。通过详细的代数推导，得出椭圆的一般方程及其标准形式，并展示椭圆与圆的关系，表明当椭圆的两个半轴相等时，圆是椭圆的特殊情况。

学习目标：
完成本课后，学生将能够：

几何公式

为了得到描述椭圆的方程， 我们必须像抛物线一样，推理椭圆的几何意义。椭圆是平面上所有点的集合，这些点到两个称为焦点的固定点的距离之和是恒定的。

也就是说，将满足：

$d(f_1,p) + d(f_2,p) = 常数$

根据椭圆的几何定义，我们可以得到描述椭圆的代数表达式。为了简化推导，我们假设焦点位于 $f_1 =(-c,0)$ 和 $f_2 =(c,0),$ 所以任意一点 $p=(x,y)$ 在椭圆上时，满足：

$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$

其中 $a\in\mathbb{R}$ 是一个固定常数。从这里我们可以进行如下推导：

(1)	$\sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a$	; 几何定义的椭圆
	$\sqrt{(x-c)^2 + y^2} = 2a - \sqrt{(x+c)^2 + y^2}$
(2)	$(x-c)^2 + \cancel{y^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2 + \cancel{y^2}$	; 对(1)平方
	$(x-c)^2 = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + (x+c)^2$
	$\cancel{x^2} -2xc + \cancel{c^2} = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} + \cancel{x^2} +2xc + \cancel{c^2}$
	$-2xc = 4a^2 -4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} +2xc$
	$4a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = 4a^2 +4xc = 4(a^2 + xc)$
	$a \sqrt{(x+c)^2 + y^2} = a^2 + xc$
(3)	$a^2 [(x+c)^2 + y^2] = (a^2 + xc)^2$	; 对(2)平方
	$a^2 [x^2 + 2xc + c2 + y^2] = a^4 +2a^2xc + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + \cancel{2xca^2} + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + \cancel{2a^2xc} + x^2c^2$
	$a^2 x^2 + a^2 c2 + a^2 y^2 = a^4 + x^2c^2$
	$x^2 (a^2 - c^2) + a^2 y^2 = a^4 - a^2 c^2 =a^2(a^2-c^2)$
	$\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{a^2-c^2} = 1$
(4)	$0\lt a^2 - c^2 =: b^2$	; 图形显示 $b^2$ 是正数。
(5)	${\dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{ y^2}{b^2} = 1}$	; 来自(3)和(4)
	$\boxed{\left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1}$

这就是我们称为“椭圆方程”的公式。

我们刚刚得到的方程 可以通过平移变换推导出它的一般形式，进行替换 $x\longmapsto (x-h)$ 和 $y\longmapsto (y-k).$ 从而得到椭圆方程的一般形式：

$\boxed{\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1}$

这是一个中心在点 $(h,k)$ 的椭圆

通过代数运算我们得出了椭圆的标准方程：

(1)	$\left(\dfrac{x-h}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y-k}{b}\right)^2 = 1$	; 椭圆的一般方程
	$b^2 (x-h)^2 + a^2(y-k)^2 = a^2 b^2$	; 将方程乘以 $a^2b^2$
	$b^2 [x^2-2xh+h^2] + a^2[y^2-2yk + k^2] = a^2 b^2$	; 展开平方
	$b^2 x^2-2hb^2 x + h^2b^2 + a^2 y^2-2ka^2y + k^2a^2 = a^2 b^2$	; 展开括号
	$b^2 x^2- 2hb^2 x + a^2 y^2-2ka^2y +(h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2) = 0$	; 合并常数项

在最后的表达式中，我们可以进行替换 $A:=b^2,$ $B:=-2hb^2,$ $C:=a^2,$ $D:=-2ka^2$ 和 $E:=h^2b^2 + k^2a^2 - a^2 b^2.$ 由此我们可以看到椭圆方程可以被描述为：

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

这就是我们称为“椭圆标准方程”的表达式。

从这些推导中，可以提取一些关于标准方程常数的限制。最重要的是 $A$ 和 $B$ 必须具有相同的符号；否则，我们讨论的将不再是椭圆，而是双曲线。关于标准表示中的常数还有更多限制，但现在讨论它们并不高效；我们将在详细讨论椭圆和双曲线的表征时进一步探讨。

当我们讨论椭圆的表征时，我们会审视，椭圆一般方程中的常数 $a$ 和 $b$ 对应于椭圆的半轴。如果将两个半轴相等，设为 $a=b=r,$ 那么椭圆将转化为半径为 $r$ 的圆。

由此我们得到圆的一般方程：

$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

类似地，我们得到圆的标准方程：

$Ax^2 + Bx + Cy^2 + Dy + E = 0$

在其标准形式中，圆的方程与椭圆方程一致，因为我们已经看到，圆是椭圆的特殊情况。