这次，我们不仅会回顾无限极限，还会总体回顾发散极限。发散极限告诉我们一个函数似乎不收敛，而这种情况可以以多种方式发生。

何时我们称一个极限是发散的？

当一个极限不收敛到某个实数值时，我们称其为发散极限。 这一点虽看似显而易见，但可能有多种方式：

• 当侧极限不一致或不存在时，双侧极限则不存在。
• 如果函数未定义、无限增长或在接近计算极限的点时无限振荡，则侧极限无法存在。

这可以应用于有限极限和无穷极限，并根据情况产生不同类型的发散。

极限中的发散类型

存在定义域问题的极限

当我们试图计算形式为\lim_{x\to x_0}f(x)或\lim_{x\to +\infty}f(x), 的极限时，我们至少希望f(x)在接近x_0的值附近或在某个区间[a,+\infty[, 上定义良好。如果不满足该条件，则两种极限定义都无法成立；函数若在接近某个值时未定义，就无法“趋向”该值。在这种情况下，我们简单地写出极限不存在：\lim_{x\to x_0}f(x)=\cancel{\exists} 和 \lim_{x\to +\infty}f(x)=\cancel{\exists}, 视情况而定。类似地，这也适用于侧极限，此类情况无需再多言。

不一致的侧极限

考虑一个类似的函数f(x) = x/|x| 并计算当 x\to 0 时的极限。我们首先注意到

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1

在这种情况下，我们注意到虽然侧极限存在，但它们不相等。当这种情况发生时，我们称双侧极限不收敛，因此：

\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \cancel{\exists}

无限振荡函数的极限

也存在这样一种情况，即函数在接近某值时开始在某个区间内无限振荡。例如f(x)= \sin(1/x)。当我们观察这个函数在x\to 0时的情况，我们会发现它无限振荡。

当出现类似情况时，我们称极限不存在。

无限极限

让我们看看函数f(x) = 1/x.。首先我们会看到当x\to 0时， f(x)的值无限增长，但其增长方式取决于计算极限的位置。直观地写为

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

用这种表示法，并不是说极限存在，而是指出该极限不存在的方式。与之前的例子不同，极限不收敛到某个具体值；在此情况下，极限发散，因为其数值超越了任何实数。

我们刚刚回顾的内容可以通过以下定义来形式化：

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = +\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty \right)

类似地：

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = -\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty \right)

有时我们也会提到趋向无穷的极限（无符号）

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = \infty := \lim_{x\to x_0}|f(x)| = +\infty

趋向无穷的无限极限

与我们之前回顾的极限类似，可以定义趋向无穷的无限极限。例如：

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists N \in\mathbb{R} \right) ( N\lt x \rightarrow M \lt f(x) )

至此，我们已经看到了函数极限发散的各种形式。