函数极限的导数

摘要：在本节课中，我们将探讨导数这一数学工具，用以分析函数的变化。通过从割线的斜率出发，并在点接近时计算极限，我们将定义导数为切线的斜率。此外，我们将研究其关键性质和规则，例如求和规则、乘积规则和商规则，这些是将导数应用于函数和变化现象分析的基础。

学习目标

通过本节课，学生将能够：

1. 理解导数作为描述函数瞬时变化的极限，并理解其为曲线某一点处切线的斜率。
2. 解释可导性如何暗示函数的连续性。
3. 证明从形式定义推导的基本求导规则。
4. 应用导数的代数性质（求和、乘积和商）解决数学问题。

内容目录：

导数的概念
割线的斜率
取极限：导数与切线的斜率
替代定义
导数的性质
可导性暗示连续性
导数的代数

导数的概念

自然界通常是变化的，而用于计算和理解变化的首要数学工具便是导数。它的出现源于这样的提问：“当变量 x 增加或减少到任意小的量 \Delta x 时，函数 f(x) 的值会发生什么变化？”通过分析这个问题，导数作为函数的极限出现了。

割线的斜率

考虑一个函数 f(x) 在两个点 x_0 和 x_0 + \Delta x 处的值。连接曲线这两个点的直线称为“割线”，如图所示。

这条割线的斜率为：

\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

取极限：导数与切线的斜率

如果我们考虑曲线 y=f(x) 的割线，经过点 x_0 和 x_0 + \Delta x，然后取 \Delta x 趋于零的极限，我们得到经过点 (x_0, f(x_0)) 的切线。

基于此，函数 f(x) 在点 x_0 的导数的形式定义为：

\displaystyle \dfrac{df(x_0)}{dx}:= \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f(x_0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

这也代表了通过点 x_0 的切线的斜率。

替代定义

导数作为极限的另一种定义可以通过以下替代方法获得：

\begin{array}{rl} x_i &= x_0\\ x_f &= x_i + \Delta x \end{array}

因此，\Delta x = x_f - x_i，导数定义变为：

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{df(x_i)}{dx} &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0}\dfrac{ f(x_i + \Delta x) - f(x_i)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f - x_i \to 0} \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{x_f \to x_i } \dfrac{f(x_f) - f(x_i)}{x_f - x_i} \end{array}

这两种定义是等价的，可以根据需要交替使用。

导数的性质

当以下极限存在时，称函数在 x_0 处可导：

\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

如果该极限对所有 x_0 \in I 都定义良好，则称函数在集合 I 上可导。可导函数具有以下性质：

可导性暗示连续性

如果函数在 x_0 处可导，则它在 x_0 处连续。这可以通过以下论证来证明：

为了使 f(x) 在 x_0 处连续，需要满足：

\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = f(x_0)

分析此表达式的左侧，我们有：

\begin{array}{rl} \displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ f(x) + f(x_0) - f(x_0) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( f(x) - f(x_0) \right) \right] \\ \\ &= \displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[f(x_0) + \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \\ \\ &=f(x_0) +\displaystyle \lim_{x\to x_0} \left[ \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x- x_0} \right)(x-x_0) \right] \end{array}

因此，为了使 f(x) 在 x_0 处连续，右侧的极限必须定义良好。这仅当：

\displaystyle \lim_{x\to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} = \dfrac{df(x_0)}{dx}

换句话说，当且仅当 f(x) 在 x_0 处可导时 f(x) 是连续的。因此，可导性暗示连续性。

导数的代数

设 f 和 g 为在所有 x \in I 上可导的函数，且 \alpha, \beta \in \mathbb{R}. 则有以下性质：

1. \dfrac{d}{dx} \left( \alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) = \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta\dfrac{dg(x)}{dx}
2. \dfrac{d}{dx} \left( f(x) g(x) \right) = \dfrac{df(x)}{dx} g(x) + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx}
3. 若 g(x) \neq 0，则 \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx} }{\left[g(x)\right]^2}

从上述性质可见，导数的代数可能不像初看起来那样直观。然而，这些性质可以从导数作为极限的定义中推导出来。

证明：

关于求和公式的证明如下：

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right) & =\displaystyle \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\left[\alpha f(x+\Delta x) \pm \beta g(x+ \Delta x)\right] - \left[\alpha f(x) \pm \beta g(x) \right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \left[\alpha f(x+\Delta x) - \alpha f(x)\right] \pm \left[\beta g(x+\Delta x) - \beta g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ \alpha \left[ f(x+\Delta x) - f(x)\right] \pm \beta \left[ g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \alpha \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \pm \beta \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{ g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \alpha \dfrac{df(x)}{dx} \pm \beta \dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

关于乘积公式的证明稍微复杂一些：

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left[f(x)g(x)\right] &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) g(x+\Delta x) + \color{red}f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) \color{black} - f(x) g(x)}{\Delta x} \\ \\ &= \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\left[f(x+\Delta x) - f(x) \right] g(x+\Delta x) + f(x) \left[g(x+\Delta x) - g(x)\right]}{\Delta x} \\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &=\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} + f(x)\lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ \\ &= g(x) \dfrac{df(x)}{dx} + f(x)\dfrac{dg(x)}{dx} \end{array}

这一推导利用了 g 是可导函数，因此也是连续的，即 \lim_{\Delta x \to 0 } g(x+\Delta x) = g(x)。

最后，关于商公式的证明，可以借助乘积公式。假设函数形式为 k(x) = f(x)/g(x), 且 g(x) \neq 0. 那么：

\dfrac{df(x)}{dx}= \dfrac{d}{dx}(k(x)g(x)) = \dfrac{dk(x)}{dx}g(x) + k(x)\dfrac{dg(x)}{dx}

解出 \dfrac{dk(x)}{dx}，得到：

\dfrac{dk(x)}{dx}g(x) = \dfrac{df(x)}{dx} - k(x)\dfrac{dg(x)}{dx} = \dfrac{d}{dx}f(x) - \dfrac{f(x)}{g(x)}\dfrac{dg(x)}{dx}

因此：

\begin{array}{rl} \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &= \dfrac{dk(x)}{dx} =\dfrac{1}{g(x)} \dfrac{df(x)}{dx} - \dfrac{f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\dfrac{dg(x)}{dx} \\ \\ & = \dfrac{\dfrac{df(x)}{dx}g(x) - f(x) \dfrac{dg(x)}{dx}}{[g(x)]^2} \end{array}

这就是我们想要证明的结论。