Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)?

Резюме:
В этом занятии рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) порядка k, начиная с их определения и представления в нормальной и общей форме. С помощью таких понятий, как матрица Якоби и теорема неявной функции, закладываются основы для понимания решений этих уравнений и связанных с ними свойств, таких как область определения и явные и неявные решения.

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

По завершении этого занятия студент сможет:

1. Вспомнить определение и основные характеристики обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ).
2. Объяснить связь между ОДУ и его возможными решениями.

СОДЕРЖАНИЕ
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) порядка k
Теорема неявной функции
Решение обыкновенного дифференциального уравнения
Внимание к области определения решений
Расширенное и максимальное решение
Явное и неявное решение

На данном этапе у нас уже есть достаточно ясное представление о том, что такое дифференциальное уравнение и какие многочисленные применения оно может иметь. Теперь мы остановимся, чтобы изучить некоторые определения и свойства с целью заложить прочную общую основу для дальнейшего изучения.

ОДУ порядка k

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) — это уравнение, в котором участвуют независимая переменная x, функция y(x) и некоторые её обыкновенные производные. Производные первого порядка от y(x) обозначаются символами \frac{dy(x)}{dx} или y'(x), второго порядка — как \frac{d^2y(x)}{dx^2} или y''(x), и в общем случае порядка n — как \frac{d^ny(x)}{dx^n} или y^{(n)}(x). Наибольшее значение k, при котором y^{(k)}(x) появляется в уравнении, называется порядком уравнения. Таким образом, общая форма ОДУ порядка k выглядит так:

F\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k)}(x)\right)=0.

Говорят, что ОДУ порядка k находится в нормальной форме, если оно выражено явно относительно y^{(k)}(x), то есть:

y^{(k)}(x) = f\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k-1)}(x)\right).

В общем случае функция y есть функция \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n, так что она и все её производные в точке x\in\mathbb{R} являются векторами из \mathbb{R}^n. С учётом этого, поскольку функция F, описывающая ОДУ порядка k, имеет 1+(k+1) переменных, получаем: \text{Dom}(F)\subset \mathbb{R}^{1+n(k+1)} и \text{Rec}(F)\subset \mathbb{R}; аналогично, \text{Dom}(f) = \mathbb{R}^{1+nk} и \text{Rec}(f)\subset \mathbb{R}^n.

Переход от общей формы ОДУ порядка k к её нормальной форме возможен благодаря теореме неявной функции.

Теорема неявной функции

Пусть F — функция класса \mathcal{C}^1 на открытом множестве U \subset \mathbb{R}^n со значениями в вещественных числах. Пусть (a_1,\cdots, a_n) \in U и F(a_1,\cdots, a_n) = 0 и

\displaystyle \frac{\partial F(a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} \neq 0

Тогда существует окрестность V точки (a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1} и функция \varphi:V \longrightarrow \mathbb{R} такая, что:

1. V \times \varphi(V) \subset U
2. F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots, x_{n-1})
3. \varphi дифференцируема и

   \displaystyle\dfrac{\partial \varphi (a_1,\cdots, a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_i} }{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} }

Доказательство теоремы неявной функции

Развитие с использованием матрицы Якоби

Пусть \psi(x_1,\cdots,x_{n-1}, x_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1}, F(x_1,\cdots, x_n)). Если мы вычислим её матрицу Якоби, которая представлена ниже:

\displaystyle \left( \dfrac{\partial \psi(x_1,\cdots, x_n)}{\partial(x_1,\cdots, x_n)} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_n} \end{array}\right),

увидим, что её определитель отличен от нуля в точке (a_1,\cdots, a_n), именно потому что, как было установлено в начале, \partial F(a_1,\cdots, a_n)/\partial x_n \neq 0. Из этого следует, что у \psi существует обратная функция на открытом множестве W, содержащем (a_1,\cdots, a_n).

Развитие решения

Теперь рассмотрим множество

\tilde{V}=\psi(W)\ni \psi(a_1,\cdots,a_{n}) = (a_1,\cdots,a_{n-1},F(a_1,\cdots,a_{n}))=(a_1,\cdots,a_{n-1},0).

На основе этого мы можем определить другое множество

V=\{(x_1,\cdots,x_{n-1}) \;|\; (x_1,\cdots,x_{n-1},0)\in \tilde{V}\}\ni (a_1,\cdots,a_{n-1})

Множество V, следовательно, является открытым и содержит точку (a_1,\cdots,a_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1}.

Кроме того, поскольку \psi обратима (на W), существует единственная точка (y_1,\cdots,y_n)\in W, такая что \psi(y_1,\cdots,y_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1},0). Это означает, что:

\begin{array}{rl} y_1 &= x_1 \\ \\ \vdots & \vdots \\ \\ y_{n-1} &= x_{n-1} \\ \\ F(x_1,\cdots,x_{n-1},y_n) &= 0 \end{array}

Таким образом, мы можем определить \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}) = y_n, так что:

\psi^{-1}(x_1,\cdots,x_{n-1},0) = (x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}))

и

F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

Из этого следует, что \varphi(V)\ni a_n, и, следовательно, V\times\varphi(V) \subset U, и кроме того:

F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})

Дифференцируемость

И, наконец, дифференцируемость \psi приводит к дифференцируемости \psi^{-1}, что в свою очередь приводит к дифференцируемости \varphi на V. Учитывая это, мы можем определить функцию g через следующее соотношение:

g(x_1, \cdots,x_{n-1}) = F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

Затем, используя правило цепочки, получаем:

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_i} = \frac{\partial F}{\partial x_i} + \frac{\partial F}{\partial x_n}\frac{\partial \varphi }{\partial x_i} = 0,

где i=1,\cdots, n-1. Из этого последнего уравнения следует:

\displaystyle \dfrac{\partial \varphi(a_1,\cdots,a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_i}}{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_n}}

На этом завершается всё, что требовалось доказать ■

Решение обыкновенного дифференциального уравнения

Рассмотрим ОДУ, записанное в нормальной форме

y^{(n)} = f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)(x)})

Тогда функция \varphi : I_\phi \longmapsto \mathbb{R}^n, где I_\phi — это интервал в \mathbb{R}, называется решением ОДУ, если:

\left(\forall x \in I_\phi \right) \left(\varphi^{(n)}(x) = f(x,\varphi(x),\varphi^\prime(x),\cdots,\varphi^{(n-1)(x)}\right)

Осторожно с областью определения решений

На этом этапе необходимо подчеркнуть важность явного указания области определения решения дифференциального уравнения. Например, область определения функции \phi, о которой мы говорили в предыдущем абзаце, — это интервал I_\phi. Это важно, потому что распространённая ошибка при работе с дифференциальными уравнениями — считать две функции \phi_1 и \phi_2 равными только потому, что \left(\forall x \in I_{\phi_1}\cap I_{\phi_2}\right)\left(\phi_1(x) = \phi_2(x)\right), несмотря на то что I_{\phi_1}\neq I_{\phi_2}. Чтобы пояснить это, рассмотрим дифференциальное уравнение:

y^\prime = -y^2.

Одно из возможных решений этого ОДУ — функция \psi_1 : ]0,+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}^+\setminus\{0\}, определённая как \psi_1(x)=1/x, потому что \psi_1^{\prime} = -1/x^2 = -\psi_1^2 для любого x\in]0,+\infty[. Однако, с некоторыми алгебраическими преобразованиями можно получить другое, совершенно отличное решение, если не уделять внимания деталям. Например, очевидно, что:

\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1-x)},

а правая часть этого равенства — это результат геометрического ряда:

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n = \frac{1}{1 - (1-x)}

Таким образом, неискушённый взгляд может ошибочно предположить, что функции \psi_1
и \psi_2 = \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n представляют одно и то же решение исходного дифференциального уравнения, поскольку дают одинаковые значения; однако он упустит из виду, что этот геометрический ряд справедлив только при |1-x| \lt 1, то есть когда x\in]0,2[). Более того, поскольку ]0,2[\subset]0,+\infty[, также справедливо, что \psi_1 продолжается на \psi_2, потому что в области, где \psi_2 определена, \psi_1 также определена и выходит за её пределы.

Расширенное решение и максимальное решение

Рассмотрим две функции \phi_1 и \phi_2, определённые на интервалах I_{\phi_1} и I_{\phi_2}, соответственно, которые являются решениями дифференциального уравнения. Если I_{\phi_1}\subset I_{\phi_2}, то говорят, что решение \phi_2 расширяет решение \phi_1, или что решение \phi_2 более общее, чем решение \phi_1. Решение \phi называется «максимальным», если не существует другого решения, которое бы его нетривиально расширяло.

Явное и неявное решение

Функция \phi считается решением ОДУ порядка n (записанного в нормальной форме)

y^{(n)}(x)=f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)}(x)),

на интервале I, если

(\forall x\in I)\left(\phi^{n}(x) = f(x,\phi(x),\phi^\prime(x),\cdots,\phi^{(n-1)}(x))\right)

То, что мы уже рассматривали ранее, известно как явное решение дифференциального уравнения на интервале I. Как следует из названия, существует и неявная форма задания решений. Говорят, что соотношение \Phi(x,y)=0 является неявным решением дифференциального уравнения на I, если оно определяет два или более неявных решений на I.

Заключение

На этом занятии мы подробно разобрали понятие обыкновенного дифференциального уравнения с позиции строгого, но доступного подхода, установив формальные основы, позволяющие не только распознавать ОДУ, но и понимать логику, лежащую в основе их решений. Благодаря теореме неявной функции удалось чётко обосновать переход от общей формы уравнения к нормальной, что представляет собой ключевую техническую способность для решения прикладных задач.

Кроме того, мы точно различили различные способы понимания решения: как явного или неявного, расширенного или максимального, и подчеркнули важность — часто недооцениваемую — корректного указания области определения. Эти различия — не просто формальность: они имеют практическое значение. Их игнорирование может, как мы увидели, привести к серьёзным концептуальным ошибкам при интерпретации полученных результатов.