Введение

Мы уже изучили, как работает рефракция; то есть, что происходит, когда свет проходит из одной среды в другую. Однако все это мы рассматривали в случае, когда интерфейс, разделяющий среды, является плоской поверхностью. Однако как в природе, так и в практических применениях нередко можно встретить рефракцию на сферических интерфейсах. Примеры включают в себя человеческий глаз (и почти всех животных в целом) и большинство оптических приборов, используемых как в повседневной жизни, так и в промышленности.

На следующем рисунке показано, как создается линза через две сферические поверхности.

Для детального изучения таких устройств необходимо рассмотреть, как свет ведет себя при прохождении через сферический интерфейс из одной среды в другую.

Соотношение между объектом и изображением для рефракции на сферических интерфейсах

Мы начнем наше изучение с рассмотрения того, как свет ведет себя при прохождении через сферический интерфейс из одной среды в другую. Для этого мы рассмотрим сферу радиусом R, сделанную из материала с показателем преломления n_b, погруженную в среду с показателем преломления n_a.

Извлечение соотношений между углами

Если мы проанализируем углы, показанные на этом рисунке, то увидим:

\begin{array}{rll} {(1)}& \theta_a & =\alpha + \phi \\ \\ {(2)}& \phi & =\beta + \theta_b \end{array}

Доказательство

Первое уравнение получается из того, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам:

\begin{array}{rl} & \alpha + \phi + (\pi - \theta_a) = \pi\\ \\ \equiv & \alpha + \phi - \theta_a = 0 \\ \\ \equiv & \color{blue}{\theta_a = \alpha + \phi} \end{array}

Второе уравнение получается аналогичным образом:

\begin{array}{rl} & \beta + \theta_b + (\pi - \phi) = \pi\\ \\ \equiv & \beta + \theta_b - \phi = 0\\ \\ \equiv & \color{blue}{\phi = \beta + \theta_b } \end{array}

Введение закона Снелла

Из рисунка также можно вывести следующие выражения:

\begin{array}{rll} {(3)}&\tan(\alpha) &=\displaystyle \frac{h}{s+\delta}\\ \\ {(4)}&\tan(\beta) &=\displaystyle \frac{h}{s^\prime - \delta}\\ \\ {(5)}&\тан(\phi) &=\displaystyle \frac{h}{R - \delta} \end{array}

И согласно закону Снелла, имеем:

\begin{array}{rl} {(6)} & n_a\sin(\theta_a) = n_b \sin(\theta_b)\end{array}

Теперь, если принять приближение, что \theta_a и \theta_b малы, то \alpha, \beta и \phi также будут малы, и тогда:

Из рисунка также можно вывести следующие выражения:

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) &\approx \theta_a \\ \\ \sin(\theta_b) &\approx \theta_b \\ \\ \delta &\approx 0 \\ \\ \tan(\alpha) &\approx \alpha \\ \\ \tan(\beta) &\approx \beta \\ \\ \tан(\phi) &\approx \phi \end{array}

Затем, из этого и закона Снелла, имеем:

\begin{array}{rl} {(7)} & n_a \theta_a \approx n_b \theta_b \\ \\ \equiv & \theta_b \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b} \theta_a \end{array}

Теперь, из (7), (1) и (2) следует:

\begin{array}{rl} {(8)} & \phi - \beta \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ \equiv & \phi \approx \beta + \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ {}\equiv & n_b\phi \approx n_b\beta + n_a \alpha + n_a\phi \\ \\ \equiv & \color{blue}{n_a \alpha + n_b\beta \approx (n_b - n_a) \phi } \end{array}

Наконец, из (8), приближений и уравнений (3), (4) и (5), получаем:

\begin{array}{rl} {(9)} & \displaystyle n_a \left( \frac{\color{red}{h}}{S + \underbrace{\delta}_{\to 0}} \right) + n_b \left(\frac{\color{red}{h}}{S^\prime - \underbrace{\delta}_{\to 0} } \right) \approx (n_b - n_a) \left(\frac{\color{red}{h}}{R-\underbrace{\delta}_{\to 0}}\right) \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \frac{n_b - n_a}{R} } \end{array}

Это последнее уравнение называется Соотношением между объектом и изображением для рефракции на сферических интерфейсах.

Формирование расширенных изображений при рефракции на другой стороне сферических интерфейсов

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, когда мы заменим точечный источник света на протяженный объект. Это показано на следующем рисунке:

Предыдущий анализ уже указывает на соотношение между S и S^\prime, теперь нам нужно найти только соотношение между размерами объекта и изображения.

На рисунке показано:

\begin{array}{rl} \tan(\theta_a) & =\displaystyle \frac{y}{S} \\ \\ \tan(\theta_b) & =\displaystyle - \frac{y^\prime}{S^\prime} \end{array}

Теперь мы объединим это с законом Снелла:

n_a\sin(\theta_a) = n_b\sin(\theta_b).

И для этого мы будем использовать тот факт, что для малых углов приближение:

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) & \approx \tan(\theta_a) \\ \\ \sin(\theta_b) & \approx \tan(\theta_b) \end{array}

Так что мы можем написать:

\begin{array}{rl} &\displaystyle n_a \frac{y}{S} \approx- n_b \dfrac{y^\prime}{S^\prime} \\ \\ \equiv & \displaystyle \dfrac{y^\prime}{y} \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \\ \\ \end{array}

Теперь, вспоминая, что мы видели для сферических зеркал, у нас есть аналогичное. На этом этапе мы можем (снова) определить коэффициент увеличения m через:

m=\displaystyle \frac{y^\prime}{y}

Таким образом:

\displaystyle \color{blue}{m\approx -\frac{n_a S^\prime}{n_b S}}

Синтез

В заключение, до сих пор мы извлекли два результата, которые позволяют нам делать выводы о формировании изображений при прохождении света через сферический интерфейс. Эти уравнения следующие:

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{n_a}{S} + \dfrac{n_b}{S^\prime} & \approx \dfrac{n_b - n_a}{R} \\ \\ m & \displaystyle \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \end{array}

С помощью этих двух уравнений можно рассчитать как положение изображения, так и его ориентацию и размер, и они будут работать независимо от того, вогнутая поверхность или выпуклая. Однако на этом этапе необходимо уделить внимание соглашению о знаках.

Соглашение о знаках

С помощью этих двух уравнений можно рассчитать как положение изображения, так и его ориентацию и размер, и они будут работать независимо от того, вогнутая поверхность или выпуклая. Однако на этом этапе необходимо уделить внимание соглашению о знаках.

Интерфейс разделяет пространство на две области: одну, где находится объект, и другую, где находится изображение. На основе этого имеем:

• Положение объекта S: Положительное, если находится на стороне объекта, отрицательное, если находится на стороне изображения.
• Положение изображения S^\prime и радиус кривизны R: Положительное, если находится на стороне изображения, отрицательное, если находится на стороне объекта.
• Размер объекта и изображения, y и y^\prime: Положительное, если находится выше оптической оси, отрицательное, если ниже оптической оси.

Плоские интерфейсы как предельный случай сферических

Все, что мы разработали для сферических интерфейсов, также полезно для лучшего понимания плоских интерфейсов. В действительности, плоский интерфейс можно рассматривать как часть сферического интерфейса с очень большим радиусом кривизны; фактически, если взять пределы для соотношения объекта и изображения для сферических интерфейсов, когда радиус стремится к бесконечности, имеем:

\displaystyle \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime} = \lim_{R\to \infty} \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \lim_{R\to \infty} \frac{n_b - n_a}{R} = 0

И если рассчитать коэффициент увеличения на основе этого, получим:

m=1

То есть изображение сохраняет свой размер и ориентацию, меняется только его наблюдаемое положение.

Упражнения

1. Перед цилиндрическим стеклянным стержнем размещена частица, как показано нижеЕсли частица находится на расстоянии 30[см] от стержня, а его кончик имеет сферическую форму с радиусом R=1,5[см],, рассчитайте положение изображения, сформированного внутри стержня.
2. Рассмотрим тот же стержень из предыдущего упражнения, но теперь он находится под водой. Если перед ним на расстоянии 30[см], размещена игла высотой 1[см], рассчитайте место и высоту изображения.
3. Человек смотрит на дно бассейна с целью оценить его глубину. В качестве ориентира он использует стрелку, нарисованную на дне. Какова связь между реальной и кажущейся глубиной?