В этот раз мы рассмотрим не только бесконечные пределы, но и общие расходящиеся пределы. Расходящиеся пределы показывают нам, как функция, по-видимому, не сходится, и это может произойти по-разному.

Когда мы говорим, что предел расходится?

Мы говорим, что предел расходится, когда он не сходится к какому-либо реальному значению. То, что звучит очевидно, может произойти по-разному:

• Когда боковые пределы различны или не существуют, двусторонние пределы не существуют.
• Если функция не определена, неограниченно растет или бесконечно колеблется, приближаясь к точке вычисления предела, то боковой предел не может существовать.

Это может применяться, с некоторыми особенностями, как к конечным, так и к бесконечным пределам, и в зависимости от случая у нас будет какой-то тип расходимости.

Типы расходимости в пределах

Пределы с проблемами области определения

Когда мы пытаемся вычислить предел вида\lim_{x\to x_0}f(x) или \lim_{x\to +\infty}f(x), мы ожидаем, что как минимум f(x) будет хорошо определена для значений, близких к x_0, или для интервала вида [a,+\infty[, соответственно. Если это не так, то ни одно из определений предела не имеет смысла; функция не может «стремиться» к значению, если она не определена. В таких случаях мы просто пишем, что предел не существует: \lim_{x\to x_0}f(x)=\cancel{\exists} и \lim_{x\to +\infty}f(x)=\cancel{\exists}, в зависимости от ситуации. Подобное также применяется к боковым пределам, и об этом случае не требуется говорить больше.

Различные боковые пределы

Рассмотрим функцию видаf(x) = x/|x| и вычислим предел при x\to 0. Первое, что мы заметим, это

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1

В таком случае мы заметим, что хотя боковые пределы существуют, они различны. Когда это происходит, мы говорим, что двусторонний предел не сходится, и, следовательно:

\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \cancel{\exists}

Пределы бесконечно колеблющихся функций

Существуют также функции, которые, вместо того чтобы стремиться к определенному значению, начинают колебаться в пределах определенного диапазона. Примером может быть функция f(x)= \sin(1/x). Если мы посмотрим, что происходит с этой функцией, когда x\to 0, мы увидим, что она бесконечно колеблется.

Когда происходят подобные ситуации, мы говорим, что предел просто не существует.

Бесконечные пределы

Посмотрим, что происходит с функциейf(x) = 1/x. Первое, что мы заметим, это то, что когда x\to 0, значение f(x) растет неограниченно, но то, как оно это делает, зависит от того, с какой стороны вычисляется предел. Интуитивно мы можем записать

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

Такое обозначение не означает, что предел существует; оно лишь указывает, как предел не существует. В отличие от предыдущих случаев, когда предел не существует и не сходится к определенному значению, в этом случае он уходит в бесконечность, так как его значение превышает любое реальное число.

Мы можем формализовать это, используя следующие определения:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = +\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty \right)

Аналогично можно записать:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = -\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty \right)

Иногда также говорят о пределе, который стремится к бесконечности (без знака)

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = \infty := \lim_{x\to x_0}|f(x)| = +\infty

Бесконечные пределы на бесконечности

Аналогично ранее рассмотренным пределам, можно определить бесконечные пределы на бесконечности. Например:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists N \in\mathbb{R} \right) ( N\lt x \rightarrow M \lt f(x) )

Таким образом, мы рассмотрели все возможные формы, в которых пределы функций могут расходиться.