Когда мы рассматривали пространства выборки, мы видели, что они могут быть двух типов: дискретные и непрерывные. Мы также рассмотрели, что представляет собой дискретное распределение вероятности. Теперь настала очередь непрерывных распределений вероятности.

Что такое непрерывные распределения вероятности?

Скажем, что случайная величина X имеет непрерывное распределение вероятности, если существует функция f_X : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+, которую мы назовем Плотностью X, такая, что \forall A \subseteq \mathbb{R} выполняется равенство

P(X\in A) = \displaystyle \int_A f_X(x)dx

В частности, если взять A=]a,b], то получим

P(a\lt X \leq b) = \displaystyle \int_a^b f_X(x)dx

и если a=-\infty

F_X(x) = P( X \leq x) = \displaystyle \int_{-\infty}^x f_X(t)dt

И кроме того, из свойства (c) распределений вероятности следует, что

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)dt = 1

Применяя основную теорему исчисления к этому последнему выражению, мы получаем, что для непрерывного распределения F_X(x), является непрерывной для всех x, и ее производная есть f_X(x) для всех значений x, где f_X(x) непрерывна. Из непрерывности F_X(x) и свойства (d) (см. здесь) следует:

P(x=X)=0

И поэтому

P(x\leq X)= P(x\lt X)

Если f — любая функция, удовлетворяющая условиям f\geq 0 и \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1, то ее называют плотностью.

Пять наиболее известных непрерывных распределений вероятности

Экспоненциальное распределение

Экспоненциальная функция распределения с параметром \alpha \gt 0 является функцией распределения следующего вида:

F(t) = \left\{\begin{array}{lll} 1 - e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

Следовательно, функция плотности имеет вид

\displaystyle f(t) = \left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{\alpha}e^{-t/\alpha} & ; & t\geq 0 \\ \\ 0 & ; & t\lt 0 \end{array}\right.

Если случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром \alpha, мы пишем X\sim Ex(\alpha).

В контексте распределения Пуассона, если у нас есть радиоактивный образец, который излучает частицу со средней скоростью излучения c,, то момент времени T, когда излучается первая частица, имеет экспоненциальное распределение с параметром 1/c. Иными словами T\sim Ex(1/c), и следовательно:

P(T\geq t)= e^{-ct}

Равномерное прямоугольное распределение

Равномерное прямоугольное распределение на интервале [a,b] определяется функцией плотности

f(x) = \left\{\begin{array}{lll} \displaystyle\frac{1}{b-a} & ; & x\in[a,b] \\ \\ 0 & ; & E.O.C. \end{array}\right.

Если мы бросим маленький шарик на рельс с ограничениями на концах интервала [a,b], и он будет упруго отскакивать от границ, то случайная величина X, связанная с остановкой шарика из-за трения, будет иметь равномерное прямоугольное распределение и будет записана как X\sim Un(a,b).

Нормальное (Гауссово) распределение

Из всех непрерывных распределений вероятности, нормальное распределение является одним из самых популярных на практике.

Стандартное нормальное распределение

Стандартное нормальное распределение определяется через функцию

\displaystyle \phi_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}

Из определения ясно, что \phi\gt 0. Поэтому можно проверить, что это плотность вероятности, просто убедившись, что

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\phi_{0,1}(x)dx

Это последнее равенство можно продемонстрировать, вычислив значение I^2, когда I =\int_{-\инность}^{+\инность}\phi(x)dx=1. В действительности, это:

\begin{array}{rl} I^2 & = \displaystyle \int_{-\infinity}^{+\infinity}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infinity}^{+\infinity}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}dx \\ \\ & = \displaystyle \int_{-\infinity}^{+\infinity}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2} dx \int_{-\infinity}^{+\infinity}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y^2/2} dy \\ \\ & = \displaystyle \frac{1}{{2\pi}} \int_{-\infinity}^{+\infinity} \int_{-\infinity}^{+\infinity} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy \\ \\ \end{array}

Но оказывается, что

\displaystyle \int_{-\infinity}^{+\infinity} \int_{-\infinity}^{+\infinity} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}} dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{+\infinity} e^{-r^2/2} rdr d\theta = 2\pi

Таким образом, I^2 = 1, поэтому I=\int_{-\infinity}^{+\infinity}\phi_{0,1}(x)dx = 1.

Из стандартной нормальной плотности определяется стандартное нормальное распределение \Phi_{0,1}(x) = \int_{-\инность}^x\phi_{0,1}(t)dt. Если случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение, то пишем X\sim N(0,1). Распределение \Phi_{0,1}(x) не может быть вычислено явно, однако существуют таблицы, которые позволяют быстро получать приблизительные значения.

Нормальное распределение с параметрами \mu и \sigma

Из стандартной нормальной плотности \phi_{0,1} можно построить плотность нормального распределения с параметрами \mu и \sigma, где \mu\in\mathbb{R} и \sigma\gt 0 являются соответственно средним и стандартным отклонением. Плотность нормального распределения с этими параметрами записывается следующим образом:

\displaystyle\phi_{\mu,\sigma}(x) = \frac{1}{\sigma}\phi_{0,1}\left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)

Таким образом, нормальное распределение с параметрами \mu и \sigma, \Phi_{\mu,\sigma}(x), имеет следующий вид:

\displaystyle \Phi_{\му,\σ}(х) = ∫_{-бесконечности}^х \frac{1}{\σ}\ φ_{0,1}\left(\frac{t-\μ}{\σ}\right)дт = \frac{1}{\sqrt{2πσ}}∫_{-бесконечности}^х е^{-\frac{(т-μ)^2}{2σ^2}}дт
<п стиль="текст-выравнивание: оправдать; цвет: #000000;">Если случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами \mu, \sigma,, то мы пишем X\sim N(\mu, \sigma).

<з3>Распределение Вейбулла
<п стиль="текст-выравнивание: оправдать; цвет: #000000;"><а href="https://www.youtube.com/watch?v=REOTUa7K8uQ&t=2230s" целевая="_blank" rel="noopener"><сильный><спан стиль="цвет: #ff0000;">Распределение Вейбулла с параметрами <спан dir="ltr">[латекс]\альфа,\бета \гт 0[/латекс] имеет функцию распределения следующего вида:
<п стиль="текст-выравнивание: центр; цвет: #000000;"><спан dir="ltr">[латекс]F(t) = \лево{\начать{массив}{лль}
\лево(1 — е^{-т/\альфа} \право)^бета &амп;;&амп; т\ге 0 \\ \\
0 &амп;;&амп; т\лт 0
\конец{массив}\право.[/латекс]
<п стиль="текст-выравнивание: оправдать; цвет: #000000;">Если случайная величина <спан dir="ltr">[латекс]X[/латекс] имеет распределение Вейбулла с параметрами <спан dir="ltr">[латекс]\альфа, \бета[/латекс], то мы пишем <спан dir="ltr">[латекс]X\сим We(\альфа,\бета).[/латекс] Распределение Вейбулла является обобщением для экспоненциального распределения, обратите внимание, что <спан dir="ltr">[латекс]We(\альфа,1) = Ex(\альфа).[/латекс]
<а имя="7">
<з3>Распределение Гамма
<п стиль="текст-выравнивание: оправдать; цвет: #000000;"><а href="https://www.youtube.com/watch?v=REOTUa7K8uQ&t=2311s" целевая="_blank" rel="noopener"><сильный><спан стиль="цвет: #ff0000;">Распределение Гамма с параметрами <спан dir="ltr">[латекс]\бета,\альфа[/латекс] имеет функцию плотности следующего вида:
<п стиль="текст-выравнивание: центр; цвет: #000000;"><спан dir="ltr">[латекс]f(t) = \лево{\начать{массив}{ллр}
\распределение \frac{1}{\альфа \Гамма(\бета)}\лево(\frac{t}{\альфа} \право)^{\бета-1}е^{-т/\альфа} &амп;;&амп; т\ге 0 \\ \\
0 &амп;;&амп; т\лт 0
\конец{массив}\право.[/латекс]
<п стиль="текст-выравнивание: оправдать; цвет: #000000;">Где <спан dir="ltr">[латекс]\Гамма(с) = \распределение \инт_0^{+бесконечность}у^{с-1}е^{-у}ду [/латекс] это то, что известно как «Функция Гамма».
<п стиль="текст-выравнивание: оправдать; цвет: #000000;">Одним из самых заметных свойств функции Гамма является то, что она позволяет обобщить факториалы натуральных чисел на вещественные числа (и даже на комплексные). Не сложно проверить, что <спан dir="ltr">[латекс]\Гамма(с+1) = с\Гамма(с)[/латекс] по частям. Кроме того, так как <спан dir="ltr">[латекс]\Гамма(1)=1[/латекс] следует, что
<п стиль="текст-выравнивание: центр; цвет: #000000;"><спан dir="ltr">[латекс]\лево(\forall н\в\mathbb{N}\право)\лево(\Гамма(н) = (\н-1)! \право)[/латекс]
<п стиль="текст-выравнивание: оправдать; цвет: #000000;">Если случайная величина <спан dir="ltr">[латекс]X[/латекс] имеет распределение Гамма с параметрами <спан dir="ltr">[латекс]\бета, \альфа[/латекс], то мы пишем <спан dir="ltr">[латекс]X\сим Ga(\альфа,\бета).[/латекс] Распределение Гамма является еще одним обобщением для экспоненциального распределения, обратите внимание, что <спан dir="ltr">[латекс]Ga(\альфа,1) = Ex(\альфа).[/латекс]
<п стиль="текст-выравнивание: оправдать; цвет: #000000;">В процессе Пуассона с частотой <спан dir="ltr">[латекс]с[/латекс] (как в случае радиоактивного распада), если <спан dir="ltr">[латекс]T[/латекс] является случайной величиной, представляющей момент времени, когда происходит m-я события; тогда, для <спан dir="ltr">[латекс]t\ге 0[/латекс] и числа <спан dir="ltr">[латекс]N[/латекс] событий, происходящих в интервале времени <спан dir="ltr">[латекс][0,t][/латекс] мы имеем <спан dir="ltr">[латекс]t\lt T \leftrightarrow N\lt м[/латекс], и, так как <спан dir="ltr">[латекс]N\сим Po(ct),[/латекс], это следует:
<п стиль="текст-выравнивание: центр; цвет: #000000;"><спан dir="ltr">[латекс]1-F_T(t) = P(T\гт t) = \распределение \сум_{к=0}^{м-1}Po(к; ct)=е^{-цт}\сум_{к=0}^{м-1}\frac{(цт)^к}{к!}[/латекс]
<п стиль="текст-выравнивание: оправдать; цвет: #000000;">И поэтому, если мы это выведем, мы получим, что функция плотности
<п стиль="текст-выравнивание: центр; цвет: #000000;"><спан dir="ltr">[латекс]\распределение f(t) = cе^{-цт}\frac{(цт)^{м-1}}{(м-1)!}[/латекс]
<п стиль="текст-выравнивание: оправдать; цвет: #000000;">И поэтому, <спан dir="ltr">[латекс]T\сим Ga(1/ц, м).[/латекс]
<а имя="8">
<з2>Упражнения
<ол стиль="текст-выравнивание: оправдать; цвет: #000000;">
<ли>Найдите постоянную <спан dir="ltr">[латекс]ц[/латекс] так, чтобы <спан dir="ltr">[латекс]\распределение f(x) = \frac{ц}{x^2+1}[/латекс] была плотностью вероятности и вычислите соответствующую функцию распределения вероятности (распределение Коши)
<ли>Из функции плотности равномерного распределения <спан dir="ltr">[латекс]Un(a.b),[/латекс] определите его функцию распределения.
<ли>Докажите, что функция <спан dir="ltr">[латекс]\Phi_{\му,\σ}(х)[/латекс] является функцией распределения вероятности.

<центр><ифраме ширина="560" высота="315" src="https://www.youtube.com/embed/kdxgrB1h98g" название="YouTube video player" рамка="0" позволить="акселерометр; автоигра; буфер обмена- запись; зашифрованные медиа; гироскоп; картинка в картинке" allowfullscreen>