Introdução

Já estudamos como funciona a refração; ou seja, o que acontece quando a luz passa de um meio para outro. Mas fizemos tudo isso supondo que a interface que separa os meios é uma superfície plana. No entanto, tanto na natureza quanto nas aplicações práticas, não é difícil encontrar processos de refração em interfaces esféricas. Exemplos disso incluem o olho humano (e quase qualquer olho de animal, na verdade) e a maioria dos dispositivos ópticos utilizados na vida cotidiana e em aplicações industriais.

Na figura a seguir, vemos como uma lente é construída através de duas superfícies esféricas.

Para um estudo detalhado deste tipo de dispositivo, é necessário revisar como a luz se comporta ao passar de um meio para outro através de uma interface esférica.

A Relação Objeto-Imagem para a Refração em Interfaces Esféricas

Iniciaremos nosso estudo investigando como a luz se comporta ao passar de um meio para outro através de uma interface esférica. Para isso, consideraremos uma esfera de raio R feita de um material com índice de refração n_b imersa em um meio com índice de refração n_a.

Extraindo Relações entre os Ângulos

Se analisarmos os ângulos envolvidos nesta figura, perceberemos que:

\begin{array}{rll} {(1)}& \theta_a & =\alpha + \phi \\ \\ {(2)}& \phi & =\beta + \theta_b \end{array}

Prova

A primeira equação é obtida a partir do fato de que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos:

\begin{array}{rl} & \alpha + \phi + (\pi - \theta_a) = \pi\\ \\ \equiv & \alpha + \phi - \theta_a = 0 \\ \\ \equiv & \color{blue}{\theta_a = \alpha + \phi} \end{array}

A segunda é obtida de forma análoga:

\begin{array}{rl} & \beta + \theta_b + (\pi - \phi) = \pi\\ \\ \equiv & \beta + \theta_b - \phi = 0\\ \\ \equiv & \color{blue}{\phi = \beta + \theta_b } \end{array}

Introduzindo a Lei de Snell

A partir da figura, também temos as seguintes expressões:

\begin{array}{rll} {(3)}&\tan(\alpha) &=\displaystyle \frac{h}{s+\delta}\\ \\ {(4)}&\tan(\beta) &=\displaystyle \frac{h}{s^\prime - \delta}\\ \\ {(5)}&\tan(\phi) &=\displaystyle \frac{h}{R - \delta} \end{array}

E a partir da Lei de Snell temos

\begin{array}{rl} {(6)} & n_a\sin(\theta_a) = n_b \sin(\theta_b)\end{array}

Agora, se tomarmos a aproximação onde \theta_a e \theta_b são pequenos, então \alpha, \beta e \phi também serão pequenos, e será que:

A partir da figura, também temos as seguintes expressões:

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) &\approx \theta_a \\ \\ \sin(\theta_b) &\approx \theta_b \\ \\ \delta &\approx 0 \\ \\ \tan(\alpha) &\approx \alpha \\ \\ \tan(\beta) &\approx \beta \\ \\ \tan(\phi) &\approx \phi \end{array}

Então, a partir disso e da Lei de Snell, temos:

\begin{array}{rl} {(7)} & n_a \theta_a \approx n_b \theta_b \\ \\ \equiv & \theta_b \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b} \theta_a \end{array}

Agora, a partir de (7), (1) e (2) temos

\begin{array}{rl} {(8)} & \phi - \beta \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ \equiv & \phi \approx \beta + \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ {}\equiv & n_b\phi \approx n_b\beta + n_a \alpha + n_a\phi \\ \\ \equiv & \color{blue}{n_a \alpha + n_b\beta \approx (n_b - n_a) \phi } \end{array}

Finalmente, de (8), as aproximações e as equações (3), (4) e (5), chegamos a:

\begin{array}{rl} {(9)} & \displaystyle n_a \left( \frac{\color{red}{h}}{S + \underbrace{\delta}_{\to 0}} \right) + n_b \left(\frac{\color{red}{h}}{S^\prime - \underbrace{\delta}_{\to 0} } \right) \approx (n_b - n_a) \left(\frac{\color{red}{h}}{R-\underbrace{\delta}_{\to 0}}\right) \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \frac{n_b - n_a}{R} } \end{array}

Esta última é o que chamamos de Relação Objeto-Imagem para a Refração em Interfaces Esféricas.

Formação de Imagens Estendidas pela Refração do Outro Lado das Interfaces Esféricas

Agora vamos ver o que acontece quando mudamos a fonte de luz pontual para um objeto estendido. Isto é ilustrado na figura seguinte:

A análise anterior já indica a relação entre S e S^\prime, agora só precisamos encontrar a relação entre os tamanhos do objeto e da imagem.

Da figura, temos que:

\begin{array}{rl} \tan(\theta_a) & =\displaystyle \frac{y}{S} \\ \\ \tan(\theta_b) & =\displaystyle - \frac{y^\prime}{S^\prime} \end{array}

Vamos combinar isso com a Lei de Snell

n_a\sin(\theta_a) = n_b\sin(\theta_b).

E para isso, nos basearemos no fato de que para ângulos pequenos a aproximação se aplica

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) & \approx \tan(\theta_a) \\ \\ \sin(\theta_b) & \approx \tan(\theta_b) \end{array}

De modo que podemos escrever

\begin{array}{rl} &\displaystyle n_a \frac{y}{S} \approx- n_b \dfrac{y^\prime}{S^\prime} \\ \\ \equiv & \displaystyle \dfrac{y^\prime}{y} \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \\ \\ \end{array}

Agora, lembrando o que vimos para espelhos esféricos, temos algo análogo. Neste ponto, podemos (re)definir o fator de ampliação m através de:

m=\displaystyle \frac{y^\prime}{y}

de modo que:

\displaystyle \color{blue}{m\approx -\frac{n_a S^\prime}{n_b S}}

Síntese

Resumindo, até agora extraímos dois resultados que nos permitem inferir a formação de imagens quando a luz emitida de um objeto passa por uma interface esférica. Estas são as seguintes equações:

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{n_a}{S} + \dfrac{n_b}{S^\prime} & \approx \dfrac{n_b - n_a}{R} \\ \\ m & \displaystyle \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \end{array}

Com essas duas equações, você pode calcular tanto a posição da imagem quanto a orientação e o tamanho da imagem, e elas funcionarão independentemente de a superfície de interface ser côncava ou convexa. Neste ponto, entretanto, é necessário esclarecer a convenção de sinais.

Convenção de Sinais

Com essas duas equações, você pode calcular tanto a posição da imagem quanto a orientação e o tamanho da imagem, e elas funcionarão independentemente de a superfície de interface ser côncava ou convexa. Neste ponto, entretanto, é necessário esclarecer a convenção de sinais.

A interface divide o espaço em duas regiões, uma onde o objeto pode ser encontrado e a outra onde a imagem está localizada. Com base nisso, temos:

• Posição do objeto S: Positivo se estiver do lado do objeto, negativo se estiver do lado da imagem.
• Posição da imagem S^\prime e o raio de curvatura R: Positivo se estiver do lado da imagem, negativo se estiver do lado do objeto.
• Tamanho do objeto e da imagem, y e y^\prime: Positivo se estiver acima do eixo óptico, negativo se estiver abaixo do eixo óptico.

Interfaces Planas como Caso Limite das Esféricas

Tudo o que desenvolvemos para interfaces esféricas também serve para entender melhor as interfaces planas. De fato, podemos entender uma interface plana como um pedaço de uma interface esférica com um raio de curvatura muito grande; de fato, se tomarmos limites sobre a relação objeto-imagem para interfaces esféricas quando o raio tende ao infinito, temos:

\displaystyle \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime} = \lim_{R\to \infty} \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \lim_{R\to \infty} \frac{n_b - n_a}{R} = 0

E se a partir disso calculamos o fator de ampliação, obtemos:

m=1

Ou seja, a imagem mantém seu tamanho e orientação, o que varia é sua posição observada.

Exercícios

1. Em frente a uma haste cilíndrica de vidro, uma partícula é colocada como mostrado abaixoSe a partícula estiver a 30[cm] da haste e a ponta desta for aproximadamente esférica com um raio R=1,5[cm], calcule a posição da imagem gerada dentro da haste.
2. Consideremos a mesma haste do exercício anterior, mas agora ela está submersa na água. Se em frente a ela for colocada uma agulha de 1[cm] de altura na mesma distância de 30[cm], calcule o local e a altura da imagem.
3. Uma pessoa olha para o fundo de uma piscina com o objetivo de estimar sua profundidade. Como guia, ela usa uma flecha pintada no fundo. Qual é a relação entre a profundidade real e a aparente?