Nesta ocasião, não revisaremos apenas os Limites Infinitos, mas também os limites divergentes em geral. Os limites divergentes nos falam sobre como uma função parece não convergir, e isso pode ocorrer de várias formas.

Quando dizemos que um limite é divergente?

Dizemos que um limite é divergente quando ele não converge para algum valor real. Isso, que soa tão óbvio, pode ocorrer de maneiras diferentes:

• Quando os limites laterais são diferentes ou inexistentes, os limites bilaterais não existem.
• Se a função não está bem definida, cresce sem limites ou oscila infinitamente ao se aproximar do ponto onde o limite é calculado, então o limite lateral não pode existir.

Isso pode se aplicar, com suas particularidades, tanto a limites finitos quanto a limites no infinito, e, dependendo do caso, teremos algum tipo de divergência.

Tipos de Divergência nos Limites

Limites com Problemas de Domínio

Quando tentamos calcular um limite do tipo \lim_{x\to x_0}f(x) ou \lim_{x\to +\infty}f(x), esperamos que pelo menos f(x) esteja bem definida para valores próximos de x_0 ou para algum intervalo da forma [a,+\infty[, respectivamente. Se isso não ocorrer, então nenhuma das duas definições de limites poderia sequer fazer sentido; a função não pode “tender” para algum valor se ela se aproxima por onde nem sequer está definida. Em tais casos, simplesmente escrevemos que o limite não existe: \lim_{x\to x_0}f(x)=\cancel{\exists} e \lim_{x\to +\infty}f(x)=\cancel{\exists}, conforme o caso. De maneira similar, isso se aplica a limites laterais, e nada mais precisa ser dito sobre esse tipo de situação.

Limites Laterais Diferentes

Considere uma função do tipo f(x) = x/|x| e calcule o limite quando x\to 0. A primeira coisa que notamos é que

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) = 1

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} f(x) = -1

Nesse caso, notamos que, embora os limites laterais existam, eles são diferentes. Quando isso ocorre, simplesmente dizemos que o limite (bilateral) não converge e, portanto:

\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \cancel{\exists}

Limites de Funções com Oscilações Infinitas

Há também o caso de funções que, em vez de se aproximarem de um certo valor, começam a oscilar dentro de um determinado intervalo. Um exemplo disso seria uma função do tipo f(x)= \sin(1/x). Se observarmos o que acontece com essa função quando x\to 0, veremos que ela oscila infinitamente.

Quando coisas semelhantes ocorrem, dizemos que o limite simplesmente não existe.

Limites Infinitos

Vamos ver o que acontece com a função f(x) = 1/x. A primeira coisa que veremos é que, quando x\to 0, o valor de f(x) cresce sem limites, mas a maneira como isso ocorre dependerá de onde o limite é calculado. Intuitivamente, escreveremos

\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty

\displaystyle\lim_{x\to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty

Com essa notação, não estamos dizendo que o limite existe de alguma forma; estamos indicando a forma como esse limite não existe. Diferentemente dos casos anteriores, em que o limite não existe e não converge para um valor específico; neste caso, ele diverge porque seu valor ultrapassa qualquer número real.

O que acabamos de revisar pode ser formalizado através das seguintes definições:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow M \lt f(x) )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = +\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = +\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = +\infty \right)

E de maneira análoga:

\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 \lt x \lt x_0 + \delta \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty := \left(\forall m \in \mathbb{R}\right)\left( \exists \delta \gt 0 \right) ( x_0 - \delta \lt x \lt x_0 \rightarrow f(x) \lt m )

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = -\infty := \left(\lim_{x\to x_0^+}f(x) = -\infty \right) \wedge \left(\lim_{x\to x_0^-}f(x) = -\infty \right)

Às vezes também se fala de limite que tende ao infinito (sem sinal)

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x) = \infty := \lim_{x\to x_0}|f(x)| = +\infty

Limites Infinitos no Infinito

De forma semelhante aos limites revisados anteriormente, é possível definir os limites infinitos no infinito. Por exemplo:

\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) = +\infty := \left(\forall M \in \mathbb{R}\right)\left( \exists N \in\mathbb{R} \right) ( N\lt x \rightarrow M \lt f(x) )

E com isso já vimos todas as formas em que os limites das funções podem divergir.