Quando estudamos os espaços amostrais, observamos que estes podem ser de dois tipos: discretos e contínuos. Quando o espaço amostral é contínuo, é possível definir variáveis aleatórias dessa natureza e, a partir delas, estabelecer as distribuições discretas de probabilidade. Já revisamos o relativo às variáveis aleatórias aqui, agora nos concentraremos nas distribuições discretas de probabilidade.

O conceito de distribuição discreta de probabilidade

Dizemos que uma variável aleatória X tem uma distribuição discreta de probabilidade se existir um conjunto C\subset\mathbb{R} finito ou infinito enumerável tal que P\left(X\in C\right)=1; dessa forma, se tivermos valores x\in C tais que p_X(x) = P(X=x), pode-se verificar que se A\subset\mathbb{R}, então:

\begin{array}{lr} (*) & P\left(X\in A\right) = \displaystyle \sum_{x\in A \cap C} p_X(x) \end{array}

E em particular,

\begin{array}{lr} (**) & \displaystyle \sum_{x\in C} p_X(x) = 1. \end{array}

Se calcularmos P(X\in A) usando A=]-\infty, t], encontramos que:

P(X\in A) = P(X\leq t) = F_X(t) = \displaystyle \sum_{x\leq t}p_X(x)

A partir desse cálculo, concluímos que F_X é uma “escada” com saltos em x\in C de tamanho p_X(x). A função p_X que vai de C a [0,1] é o que chamamos de função de frequências. Assim, uma distribuição discreta é dada por um conjunto finito ou infinito enumerável C\subset \mathbb{R} e uma função p_X(x)\geq 0 definida para cada x\in C que satisfaça as expressões (*) e (**).

As 5 distribuições discretas de probabilidade mais conhecidas

Nesta seção, continuaremos nosso estudo sobre as distribuições discretas de probabilidade. A seguir, veremos as 5 distribuições discretas de probabilidade mais conhecidas, que serão exemplificadas mostrando o tipo de problemas que podem ajudar a resolver.

Distribuição Binomial ou de Bernoulli

A distribuição binomial, ou de Bernoulli, toma como variável aleatória o número de sucessos ou fracassos (X) em n tentativas com probabilidade individual p. Diz-se que a variável aleatória X segue uma distribuição binomial, X\sim Bi(n,p), então,

\displaystyle \large P(X=k)= {{n}\choose{k}} p^k(1-p)^{n-k}

Distribuição de Poisson

Os processos de Poisson dividem-se em duas categorias: espacial e temporal. Esta distinção surge a partir da decomposição do parâmetro \lambda:

• Caso temporal: \lambda=f\cdot T, onde f é uma frequência e T um período de tempo.
• Caso espacial: \lambda=\rho \cdot V, onde \rho é uma densidade e V um volume de amostra.

É importante ressaltar que em ambos os casos o parâmetro \lambda deve ser adimensional. Também deve-se lembrar que o processo de Poisson é um caso limite do processo binomial, de modo que a variável aleatória associada a esse processo está também vinculada a certo “número de sucessos ou fracassos”. Diz-se que a variável aleatória X segue uma distribuição de Poisson, X\sim Po(\lambda), se se cumprir que:

\large\displaystyle P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

Distribuição Geométrica

Imagine um processo binomial (como o de lançar repetidamente uma moeda). Se em vez de perguntar pelo número de sucessos após uma certa quantidade de tentativas, você perguntar pelo número de tentativas que deve realizar para obter o primeiro sucesso, então estará diante de uma variável aleatória discreta com distribuição geométrica. Uma variável aleatória X tem distribuição geométrica, X\sim Ge(p), se:

\displaystyle \large P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

Distribuição Binomial Negativa

Semelhante à Geométrica é a Distribuição Binomial Negativa, só que um pouco mais geral. Quando você realiza um processo binomial (como lançar uma moeda repetidamente) e em vez de perguntar pelo número de sucessos, pergunta pelo número de tentativas que realiza até obter o m-ésimo sucesso, então você está diante de uma variável aleatória discreta com distribuição Binomial Negativa. Se uma variável aleatória X tem distribuição Binomial Negativa, X\sim Bn(m,p), então tem-se que:

\displaystyle\large P(X=k)= {{k-1}\choose{m-1}} p^m(1-p)^{k-m}

Distribuição Hipergeométrica

Imagine que você tem um saco com N esferas coloridas, das quais M são brancas e o resto são pretas. Se deste saco você extrair n esferas (sem reposição), então o número de esferas brancas extraídas estará associado a uma variável aleatória discreta com distribuição Hipergeométrica. Se uma variável aleatória X tem distribuição Hipergeométrica, X\sim Hg(N,M,n), então:

\displaystyle \large P(X=k)=\frac{{{M}\choose{k}} {{N-M}\choose{n-k}}}{{N}\choose{n}}

Exercícios Propostos

1. Uma loja de jogos de tabuleiro vende cartas aleatoriamente de um lote de 500 cartas colecionáveis (imagine que são cartas de mitos, magic, pokemon, ou qualquer outro jogo tcg). Se o vendedor garante que sempre há 450 cartas comuns (de baixo valor) e 50 cartas raras (de alto valor), qual é a probabilidade de obter 3 cartas raras ao comprar 20 cartas aleatórias?

2. Usando a seguinte carta em um jogo:

   

   Qual é a probabilidade de que sejam descartadas 4 cartas do adversário?

3. Em uma certa loja, a probabilidade de vender um dispositivo com defeito de fábrica é de 2%. Qual é a probabilidade de que o décimo dispositivo vendido seja o terceiro com defeito de fábrica?