Theorema Panis Casei ad Calculum Limitum
Summarium:
Haec lectio Theorema Panis Casei (vel “theorema interclusae functionis”) exhibet, instrumentum praecipuum in calculo ad limites difficiliores per functiones simpliciores, quae a superiori et inferiori parte includunt, aestimandos. Explicatio graphica necnon demonstratio formalis praebentur, post quas exempla practica exsequuntur. Propositum est ut discipuli intellegant quomodo hoc theorema ad limites computandos efficacius adhibeatur.
Proposita Discendi:
Expleta hac lectione, discipulus poterit
- Intellegere utilitatem Theorematis Panis Casei in calculo limitum.
- Agoscere functiones quae possunt aliquam functionem propositam includere ad theorematis applicationem.
- Adhibere Theorema Panis Casei ad limites difficiles computandos.
- Visualizare conceptum theorematis Panis Casei graphice.
- Demonstrate Theorema Panis Casei modo formali.
INDEX RERUM:
Introductio
Idea Graphica Theorematis Panis Casei
Demonstratio Theorematis Panis Casei
Exempla
Introductio
Utilitas theorematis Panis Casei in facilitate iacet, quam praebet ad calculum quorundam limitum difficilium per alias functiones simpliciores. Causa nominis est quod, loco ut directe computetur limes functionis cum x\to x_0, utimur duabus aliis functionibus, quarum una superiorem finem imponit, altera inferiorem, et quarum limes in x_0 idem est et facile determinatur. Cum functio originalis semper inter has duas sit, fit quasi “caseus inter duas partes panis”.
Idea Graphica Theorematis Panis Casei
Idea quae theorema compendiat revera satis simplex est. Supponamus nos velle calculare aliquem limitem difficilem
\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)
Quod plerumque fit est totam cognitionem nostram de algebra functionum adhibere ut illam simplicemus usque ad punctum ubi evaluari potest. Tamen, nonnumquam via alia multo efficacior est. Supponamus nos habere intervallum clausum I tale ut x_0 \in I et praeterea exstent aliae duae functiones m(x) et M(x) quae relationem satisfaciant
(\forall x\in I)(m(x)\leq f(x) \leq M(x) )
Et insuper
\displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = \lim_{x\to x_0} M(x) = L
Ergo sequetur
\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = L
Hoc est quod videre possumus in imagine sequenti.
Demonstratio Theorematis Panis Casei
Ad demonstrandum theorema Panis Casei, rationem sequentem sequemur:
| (1) | x_0\in I; Praemissa |
| (2) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} m(x) = L ; Praemissa |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_1 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_1 \rightarrow |m(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (3) | \displaystyle \lim_{x\to x_0} M(x) = L ; Praemissa |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta_2 \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta_2 \rightarrow |M(x) -L| \lt \epsilon ) | |
| (4) | (\forall x \in I)(m(x) \leq f(x) \leq M(x) ); Praemissa |
| (5) | (\forall x \in I)(m(x) - L \leq f(x) - L \leq M(x) - L ); Ex(4) |
| (6) | (|m(x) -L|\lt \epsilon) \rightarrow (-\epsilon \lt m(x) - L \lt \epsilon) |
| (7) | (|M(x) -L|\lt \epsilon ) \rightarrow (-\epsilon \lt M(x) - L \lt \epsilon) |
| (8) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( |M(x) -L| \lt \epsilon \wedge |m(x) -L| \lt \epsilon ) ); ex (2,3) |
| (9) | (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow ( - \epsilon \lt f(x) - L \lt \epsilon ) ); ex (1,5,6,7,8) |
| (\forall \epsilon \gt 0)(\exists \delta \gt 0) (|x-x_0|\lt \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\} \rightarrow |f(x) - L| \lt \epsilon ) ) | |
| \displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x) = L\;\blacksquare |
Exempla
Theoremate Panis Casei utens, limitem functionum computare possumus etiam cum expressio algebraica explicita non praesto sit. Infra duo huius rei exempla praebentur:
Unum exemplum in sequenti situ occurrit:
- Si \sqrt{5-2x^2}\leq f(x) \leq \sqrt{5-x^2}, cum -1\leq x\leq 1. Quis est valor \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)? [SOLUTIO]
Aliud usus praxim Theorematis Panis Casei exhibet, cum ipse limes non evidens est respectu aliorum simpliciorum qui eum superiori et inferiori parte includunt, ut fit in hoc exemplo:
- Calculare: \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(x)}{x} [SOLUTIO]