Theorema Bayesii et Probabilitas Composita
Summarium
In hac lectione duo conceptus fundamentales in probabilitate tractati sunt: probabilitas conditionalis et probabilitas composita. Emphasis facta est differentiae inter P(A|B) et P(B|A). Theorema probabilitatis compositae statuit probabilitatem eventus A exprimi posse ut summam probabilitatum conditionalium P(A|B_i) multiplicatarum per probabilitates eventuum B_i. Deinde, propositum est Theorema Bayesii, quod sinit computare probabilitatem conditionalem P(B_k|A) utens probabilitate conditionali P(A|B_k), probabilitate P(B_k) et summa probabilitatum conditionalium P(A|B_i) multiplicatarum per probabilitates eventuum B_i. Hi conceptus fundamentales sunt ad intellegendam et adhibendam probabilitatem conditionalem in variis contextibus, et Theorema Bayesii praebet instrumentum validum ad probabilitates renovandas ex nova informatione.
PROPOSITA DISCENDI:
Ad finem huius lectionis, discipulus poterit:
- Intelligere notionem probabilitatis conditionalis et distinguere inter P(A|B) et P(B|A).
- Computare probabilitatem eventus utens probabilitatibus compositis.
- Demonstrrare regulam Bayesii
INDEX CONTENTORUM
Probabilitas Composita et probabilitas conditionalis
Theorema Bayesii
In praecedenti lectione, tractavimus notionem probabilitatis conditionalis atque etiam declaravimus numquam confundendam esse probabilitatem conditionalem formae P(A|B) cum P(B|A). Quamquam in sermone cotidiano conditionalitas potest esse confusa, mathematice sunt duo diversa quae tamen inter se coniunguntur. Haec relatio describitur a Theorema Bayesii, quod fundatur in notione probabilitatis compositae ad suam formulationem.
Probabilitas Composita et probabilitas conditionalis
THEOREMA: Si A est eventus et B_1, B_2, \cdots, B_n constituunt collectionem eventuum disiunctam talium ut \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega, tunc valet quod:
\boxed{P(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)}
Haec ratio scribendi probabilitatem A est quod vocamus Probabilitatem Compositam A.
DEMONSTRATIO:
| (1) | A est Eventus | ; Praemissa |
| (2) | \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega | ; Praemissa |
| (3) | B_1, \cdots, B_n sunt omnes disiuncti inter se | ; Praemissa |
| (4) | (A\cap B_i)\cap(A\cap B_j) = \varnothing, cum i\neq j et i,j\in \{1,2,3,\cdots n\} | ; Ex (1,2,3) |
| (5) | \displaystyle \bigcup_{i=1}^n \left(A \cap B_i \right) = A | ; Ex (1,2,3) |
| (6) | \displaystyle P(A) = P\left( \bigcup_{i=1}^n \left(A \cap B_i \right) \right) = \sum_{i=1}^n P\left( A \cap B_i \right) | ; Ex (4,5) |
| (7) | P(A|B_i) = \dfrac{P(A\cap B_i)}{P(B_i)} | ; Definitio Probabilitatis Conditionalis |
| P(A\cap B_i) = P(A|B_i) P(B_i) | ||
| (8) | \boxed{\displaystyle P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)} | ; Ex (6,7) |
Theorema Bayesii
In eodem contextu ac theorema praecedens, valet sequens theorema:
THEOREMA:
P(B_k|A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}
DEMONSTRATIO: Si A est eventus quilibet et B_1, B_2, \cdots, B_n est collectio eventuum disiuncta talium ut \displaystyle \bigcup_{i=1}^n B_i = \Omega, per theorema praecedens probabilitatis compositae habemus:
P(A) = \displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)
Nunc, utens eo quod P(X\cap Y) = P(X|Y)P(Y), habemus quod si substituimus Y=A et X=B_k, perveniemus ad
P(A) = \dfrac{P(B_k \cap A)}{P(B_k|A)}
Altera ex parte, habemus
P(A|B_k) = \dfrac{P(A\cap B_k)}{P(B_k)}
Unde colligitur
P(B_k \cap A) = P(A|B_k)P(B_k)
Nunc, si substituimus id quod est viride intra id quod est caeruleum, habebimus
P(A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(B_k|A)}
Quod est aequivalens dicere
\boxed{P(B_k|A) = \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}= \dfrac{P(A|B_k)P(B_k)}{\displaystyle \sum_{i=1}^n P(A|B_i) P(B_i)} }
Hoc est quod demonstrandum erat.