Spatium Euclideum {\mathbb{R}^n}

In hac lectione exploramus spatium euclideum \mathbb{R}^n, eius structuram algebraicam et proprietates metricas. Disces de operationibus vectorialibus, producto interno, norma et distantia euclidea, conceptibus fundamentalibus in geometria et analysi. Expositionibus claris ac exemplis intuitivis, hic liber tibi facultatem dabit intellegendi quomodo spatium in multiplicibus dimensionibus mathematice exprimatur.

Proposita Discendi:
Post hanc lectionem, discipulus poterit:

1. Definire spatium euclideum \mathbb{R}^n eiusque proprietates fundamentales.
2. Explicare structuram vectorialem \mathbb{R}^n per eius operationes fundamentales.
3. Applicare productum internum ad angulos et projectiones inter vectores computandos.
4. Demonstrari proprietates algebraicas et metricas producti interni in \mathbb{R}^n.
5. Adhibere normam euclideam ad magnitudinem vectoris determinandam.
6. Computare distantiam euclideam inter duo puncta in \mathbb{R}^n eiusque significationem geometricam enucleare.
7. Probare validitatem inaequalitatum fundamentalium, sicut Cauchy-Schwarz et inaequalitatis trianguli.

INDEX
Spatium \mathbb{R}^n
Productum Internum
Norma et Distantia Euclidea
Conclusio

Spatium Vectoriale \mathbb{R}^n

Certo antequam ad hunc locum perveneris, familiaris iam eras cum proprietatibus \mathbb{R}, vel plani \mathbb{R}^2, aut spatii \mathbb{R}^3. Hae omnes notiones utiles sunt ad intelligendum spatium \mathbb{R}^n. Imprimis, collectio \mathbb{R}^n = \{\vec{x} = (x_1, \cdots, x_n) | x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R}\}, una cum operationibus solitis additionis vectorialis et multiplicationis per scalar, est spatium vectoriale. Huius rei indagationem incipiamus per considerationem operationum fundamentalium \mathbb{R}^n.

Operationes fundamentales \mathbb{R}^n

Si \vec{x}=(x_1, \cdots, x_n), \vec{y}=(y_1, \cdots, y_n) vectores sunt in \mathbb{R}^n et \alpha est scalam realis quaelibet, tum operationes additionis vectorum et multiplicationis per scalam sic describuntur:

Additio vectorum: Describitur per functionem sequentem:

\begin{array}{rcrl} +:& \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\vec{x},\vec{y}) & \longmapsto & \vec{x}+\vec{y} = (x_1+y_1, \cdots, x_n + y_n) \end{array}

Multiplicatio per scalam: Describitur per functionem sequentem:

\begin{array}{rcrl} ():& \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n & \longrightarrow & \mathbb{R}^n \\ & (\alpha,\vec{x}) & \longmapsto & (\alpha\vec{x}) = (\alpha x_1, \cdots, \alpha x_n) \end{array}

Proprietates spatii vectorialis \mathbb{R}^n

Spatium \mathbb{R}^n instructum operationibus supra descriptis est spatium vectoriale, quia eius operationes additionis et multiplicationis per scalam satisfaciunt proprietatibus infra descriptis:

Primum habemus proprietates commutativam et associativam.

\vec{x} + \vec{y} = \vec{y} + \vec{x} \\ \vec{x} + (\vec{y} + \vec{z}) = (\vec{x} + \vec{y}) + \vec{z} \\ (\alpha \beta) \vec{x} = \alpha (\beta \vec{x}) = \beta (\alpha \vec{x}) = (\beta\alpha) \vec{x}

\vec{x}=\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i\hat{e}_i = x_1\hat{e}_1 + \cdots x_n\hat{e}_n

\vec{y}=\displaystyle\sum_{i=1}^n y_i\hat{e}_i = y_1\hat{e}_1 + \cdots y_n\hat{e}_n

Hic explicite ostenditur coefficientes x_i et y_i vectorum esse relativos ad basim spatii.

Conventio Summationis Einsteniana

Conventio summationis Einsteniana sinit nos notationem vectorum in genere et producti interni in specie simpliciorem reddere. Si duas expressiones supra consideremus, videbimus indicem i iterari tam in coefficientibus vectorum quam in elementis basis vectorialis; pro Einstenio, repetitio indicis sufficit ad intellegendam summam in expressione implicite contentam, ita scribi potest:

\vec{x}= x_i\hat{e}_i

\vec{y}= y_i\hat{e}_i

Hac notatione utens, productum internum exprimitur sic:

\vec{x}\cdot\vec{y} = x_i\hat{e}_i \cdot y_i\hat{e}_i = x_iy_i \underbrace{(\hat{e}_i \cdot \hat{e}_i)}_{=1} = x_iy_i

In hac ultima aequatione assumptum est nos uti basi canonica.

Aliae Notationes pro Producto Interno

Notatio vectorum earumque operationum non est eadem in omnibus contextibus, ea quam adhibui in primis paragraphis huius scripti est communissima in calculo. In algebra lineari autem, aliquando fit distinctio inter vectores et covectores:

Quotiens loquimur de vectoribus, intelligimus quod dicitur “vector columna”, qui repraesentatur matricialiter sic:

\alpha^i = \left( \begin{array}{c}\alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{array} \right)

At vero, cum loquimur de covectoribus, intelligimus “vectorem ordinis”, qui sic repraesentatur matricialiter:

\beta_i = \left( \beta_1 \; \cdots \; \beta_n \right)

Ita, productum internum duorum vectorum \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) et \vec{y}=(y_1,\cdots,y_n) interpretatur ut productum matriciale “covectoris” x_i cum vectore y^i, quod dat numerum realem sequentem:

\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right) = x_iy^i

Nota quod in hac ultima aequatione iterum apparet conventio Einsteniana: indices repetiti indicant summationem implicitam.

Notatio quae sinit nos vectores et covectores distinguere per indices subscriptos et superscriptos appellatur “notatio covariantis” vel etiam “notatio tensorialis”, quae late adhibetur in theoria relativitatis specialis et generalis; haec notatio praeterea commodum habet laborandi cum tensoribus, conceptu qui generalizationem praebet super ea quae modo consideravimus, et quam in alia occasione accuratius tractabimus. In aliis disciplinis, ut in mechanica quantica, praeferitur notatio Bra–Ket, ubi:

\left< x \right| =\left( x_1 \; \cdots \; x_n \right) \\ \\ \left|y\right> = \left( \begin{array}{c}y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)

Quo fit ut productum internum exprimatur in forma \left<x|y\right>.

Proprietates Producti Interni

Ex definitione producti interni elici possunt plures proprietates quae in futuris argumentis magni momenti erunt.

Si productum internum adhibemus ad definire functionem \tilde{\omega}(\vec{x})=\vec{\omega} \cdot \vec{x} = \omega_i x^i, tum videbimus functionem \tilde{\omega} hoc modo definitam omnes proprietates functionum linearum possidere, cum facile demonstrari possit quod

\begin{array}{rl} \tilde{\omega}(\alpha \vec{x} + \beta\vec{y}) = \alpha \tilde{\omega}(\vec{x}) + \beta\tilde{\omega}(\vec{y}) \end{array}

et propterea obiecta ut \tilde{\omega} quae ex producto interno definiuntur vocantur functionales lineares. Ut iam novimus, \vec{x} est vector qui membrum est spatii vectorialis \mathbb{R}^n, et, ut in aliis contextibus patebit, \tilde{\omega} est obiectum spatii dualis \mathbb{R}^n.

Ex hoc colligitur nexum arctissimum exsistere inter productum internum et functiones lineares; re vera, expressio quae omnes proprietates principales producti interni breviter enuntiat est: “productum internum est forma bilinearis, symmetrica, positiva et non-degenerata”. Videamus quid singulae partes huius enuntiationis significent:

Quando dicimus productum internum esse formam bilinearem, significamus quod si \vec{x},\vec{y} et \vec{z} sunt vectores in \mathbb{R}^n et \alpha,\beta \in \mathbb{R}, tunc satisfiunt aequationes sequentes:

\begin{array}{rl} \vec{x}\cdot(\alpha \vec{y} + \beta\vec{z}) = \alpha (\vec{x}\cdot\vec{y}) + \beta(\vec{x}\cdot\vec{z}) \\ \\ (\alpha \vec{x} + \beta\vec{y})\cdot\vec{z} = \alpha (\vec{x} \cdot \vec{z}) + \beta(\vec{y}\cdot\vec{z}) \end{array}

Productum internum symmetrica est forma, quia:

\forall(\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{y} = \vec{y}\cdot\vec{x})

Est etiam definite positiva, quia:

(\forall\vec{x}\in\mathbb{R}^n)(\vec{x}\cdot\vec{x} \geq 0)

Et denique, est non-degenerata, quia:

\vec{x}\cdot\vec{x} = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}

Norma et Distantia Euclidea

Norma est modus mensurandi magnitudinem vectoris, cum spatium vectoriale normam habeat, dicitur esse Spatium Vectoriale Normatum. Si \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n et \lambda\in\mathbb{R}, tum functio Norm( . ) norma est si condiciones sequentes implet:

1. Norm(\vec{x})\geq 0
2. Norm(\vec{x}) = 0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{0}
3. Norm(\lambda\vec{x}) = |\lambda| Norm(\vec{x})
4. Norm(\vec{x} + \vec{y}) \leq Norm(\vec{x}) + Norm(\vec{y})

Momentum notabile producti interni est quod hoc instrumentum praesertim utile est ad definiedum conceptum distantiae mathematico modo, qui congruit cum intuitiva nostra perceptione distantiae inter duo puncta. Pro omni \vec{x}\in\mathbb{R}^n definimus eius Normam Euclideam, \|\vec{x}\| per aequationem:

\|\vec{x}\| = \sqrt{\vec{x}\cdot\vec{x}}

Ex hoc dicimus normam euclideam esse normam a producto interno inductam.

Distantia, sive metrica, est functio quae indicat “quantum duo elementa coniuncti separantur”. Si \vec{x}, \vec{y}, \vec{z}\in\mathbb{R}^n et \lambda\in\mathbb{R}, tunc functio Dist( . ) est distantia si proprietates sequentes satisfacit:

1. Dist(\vec{x},\vec{y})=0 \leftrightarrow \vec{x}=\vec{y}
2. Dist(\vec{x},\vec{y})=Dist(\vec{y},\vec{x})\geq 0
3. Dist(\vec{x},\vec{z})\leq Dist(\vec{x},\vec{y}) + Dist(\vec{y},\vec{z})

Ultima expressio appellatur Inaequalitas Triangularis, et si haec non impleatur, functio Dist(.) vocatur “pseudo-distantia” sive “pseudo-metrica”. Spatium Vectoriale quod distantia instructum est vocatur Spatium Metricum.

Ex Norma Euclidea definitur Distantia Euclidea inter duos vectores. Si habemus duos vectores \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, tunc distantia euclidea inter hos duos vectores, dist_e(\vec{x},\vec{y}) definita est per:

dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \|\vec{x} - \vec{y}\|

Si \vec{x}=(x_1,\cdots,x_n) et \vec{y}=(y_1,\cdots, y_n), tunc facile demonstrari potest ex proprietatibus producti interni et normae quod:

dist_e(\vec{x},\vec{y}) = \sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}

Si spatium vectoriale \mathbb{R}^n cum distantia euclidea instruitur, quod obtinetur vocatur Spatium Euclideum.

Ex hoc dicitur metricam spatii euclidei esse metricam a norma euclidea inductam.

Proprietates Normae Euclideae

Cum nostra inquisitio proprie versetur in Spatio Euclideo, expedit proprietates normae euclideae recognoscere.

Inaequalitas Cauchy–Schwarz

Si \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, tunc sequens proprietas valet:

|\vec{x}\cdot\vec{y}|\leq \|\vec{x}\|\|\vec{y}\|

DEMONSTRATIO:

Sit \lambda = (\vec{x}\cdot\vec{y})/\|\vec{y}\|^2, tunc habetur:

\begin{array}{rl} 0\leq \|\vec{x} - \lambda \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \cdot (\vec{x} - \lambda\vec{y}) \\ \\ \displaystyle &= \vec{x}\cdot\vec{x} - \lambda\vec{x}\cdot\vec{y} + \lambda\vec{y}\cdot\vec{x} + \lambda^2(\vec{y}\cdot\vec{y})\\ \\ &= \|\vec{x}\|^2 - 2\lambda(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \lambda^2 \|\vec{y}\|^2 \\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\|\vec{y}\|^2}\right)(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{{\|\vec{y}\|^2}}\right)^2 {\|\vec{y}\|^2}\\ \\ \displaystyle &= \|\vec{x}\|^2 - 2\left(\frac{(\vec{x}\cdot\vec{y})^2}{\|\vec{y}\|^2}\right) + \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}\\ \\ &= \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2} \end{array}

Quare possumus dicere:

\displaystyle 0 \leq \|\vec{x}\|^2 - \frac{\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2}{\|\vec{y}\|^2}

Et propterea:

\left(\vec{x}\cdot\vec{y}\right)^2 \leq \|\vec{x}\|^2 \|\vec{y}\|^2

Denique, radicem extrahentes, pervenitur ad propositum:

|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\| ⬛

Inaequalitas Triangularis

Sint \vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n, hi vectores relationem satisfaciunt:

\|\vec{x} + \vec{y}\| \leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|

DEMONSTRATIO:

Primum animadvertamus:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &= (\vec{x} + \vec{y})\cdot(\vec{x} + \vec{y}) \\ \\ &=\|\vec{x}\|^2 + 2(\vec{x}\cdot\vec{y}) + \|\vec{y}\|^2 \end{array}

Cum sint verae relationes:

\vec{x}\cdot\vec{y}\leq |\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\|\vec{y}\|

Possumus scribere sequentia:

\begin{array}{rl} \|\vec{x} + \vec{y}\|^2 &\leq \|x\|^2 + 2\|\vec{x}\|\vec{y}\| + \|\vec{y}\|^2 \\ \\ &\leq \left(\|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| \right)^2 \end{array}

Denique, radicem extrahendo, pervenitur ad id quod demonstrandum erat:

\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\| ⬛

Conclusio

Per totam hanc lectionem exploravimus proprietates fundamentales spatii euclidei \mathbb{R}^n, tractantes eius structuras algebraicas et metricas. Coepimus definiendo eius operationes fundamentales, ut sunt additio vectorum et productum internum, ita constituentes eius naturam ut spatii vectorialis. Deinde, altius perscrutati sumus conceptum producti interni eiusque momentum in geometria \mathbb{R}^n, praesertim eius interpretationem matricialem et relationem ad functiones lineares illustrantes.

Postea, examinavimus normam euclideam et distantiam ex ea inductam, ostendentes quomodo hae notiones nos sinant longitudines et distantias in hoc spatio quantificare. Praeterea, recensuimus proprietates fundamentales, sicut inaequalitatem Cauchy–Schwarz:

|\vec{x}\cdot\vec{y}| \leq \|\vec{x}\| \|\vec{y}\|

et inaequalitatem triangularem:

\|\vec{x} + \vec{y}\|\leq \|\vec{x}\| + \|\vec{y}\|

quae sunt notiones clavis ad progressum theoriarum altiorum in analysi et geometria.