Refractio in Interfaciebus Sphaericis

Summarium:
In hac lectione perpendemus Refrationem in Interfaciebus Sphaericis, ostendentes quomodo lux se habeat transiens per superficies sphaericas et quomodo imagines formantur. Exhibentur aequationes praecipuae ad locum et magnitudinem imaginum computanda. Item explorantur casus practici, ut lentes et aestimatio profunditatum apparentium.

Proposita Discendi:
Post hanc lectionem discipulus poterit

1. Intellegere refractionem lucis transeuntis per interfacies sphaericas.
2. Deducere et adhibere relationem obiecti-imaginis pro interfaciebus sphaericis.
3. Applicare legem Snell in contextu interfaciis sphaericis.
4. Determinare situm imaginis a superficie sphaerica formatae.
5. Computare magnificationem imaginis per refractionem in superficiebus sphaericis.
6. Intellegere conventionem signorum pro positione et magnitudine obiectuum atque imaginum.
7. Referre interfacies sphaericas ad interfacies planas tamquam casum limitis.
8. Analyzare formationem imaginum extensarum per interfacies sphaericas.

INDEX CONTENTORUM
Introductio
Relatio obiecti-imaginis pro refractione in interfaciebus sphaericis
Excerpere relationes inter angulos
Introducere legem Snell
Formatio imaginum extensarum per refractionem ad alteram partem interfaciis sphaericis
Synopsis
Interfacies planae ut casus limes sphaericarum
Exercitia

Introductio

Iam studuimus quomodo refractionis operetur; id est, quid accidat cum lux ex uno medio in aliud transeat. Sed hoc totum egimus in casu quo interfacies quae media separat est superficies plana. Attamen, tam in natura quam in applicationibus practicis, non difficile est invenire processus refractionis in interfaciebus sphaericis. Exempla horum sunt oculus humanus (atque fere cuiuslibet animalis revera) et pleraque instrumenta optica adhibita sive in vita cotidiana sive in usibus industrialibus.

In sequenti figura monstratur quomodo lens ex duabus superficiebus sphaericis construatur.

Ad studium accuratum huius generis instrumentorum necesse est investigare quomodo lux se habeat cum ex uno medio in aliud per interfaciem sphaericam transeat.

Relatio obiecti-imaginis pro refractione in interfaciebus sphaericis

Initium studii nostri faciemus investigando quomodo lux se habeat transeundo ex uno medio in aliud per interfaciem sphaericam. Ad hoc considerabimus sphaeram radii R factam ex materia cuius index refractionis est n_b immersam in medio cuius index refractionis est n_a.

Excerpere relationes inter angulos

Si angulos in hac figura implicatos perpendamus animadvertimus:

\begin{array}{rll} {(1)}& \theta_a & =\alpha + \phi \\ \\ {(2)}& \phi & =\beta + \theta_b \end{array}

Demonstratio

Prima aequatio obtinetur ex eo quod summa angulorum internorum trianguli aequatur duobus angulis rectis:

\begin{array}{rl} & \alpha + \phi + (\pi - \theta_a) = \pi\\ \\ \equiv & \alpha + \phi - \theta_a = 0 \\ \\ \equiv & \color{blue}{\theta_a = \alpha + \phi} \end{array}

Secunda analogice obtinetur:

\begin{array}{rl} & \beta + \theta_b + (\pi - \phi) = \pi\\ \\ \equiv & \beta + \theta_b - \phi = 0\\ \\ \equiv & \color{blue}{\phi = \beta + \theta_b } \end{array}

Introducens legem Snell

Ex figura etiam habentur sequentia enuntiata:

\begin{array}{rll} {(3)}&\tan(\alpha) &=\displaystyle \frac{h}{s+\delta}\\ \\ {(4)}&\tan(\beta) &=\displaystyle \frac{h}{s^\prime - \delta}\\ \\ {(5)}&\tan(\phi) &=\displaystyle \frac{h}{R - \delta} \end{array}

Et ex lege Snell habemus

\begin{array}{rl} {(6)} & n_a\sin(\theta_a) = n_b \sin(\theta_b)\end{array}

Nunc, si accipimus approximationem qua \theta_a et \theta_b sunt parvi, tum \alpha, \beta et \phi quoque parvi erunt atque accidet ut:

Ex figura etiam habentur sequentia enuntiata:

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) &\approx \theta_a \\ \\ \sin(\theta_b) &\approx \theta_b \\ \\ \delta &\approx 0 \\ \\ \tan(\alpha) &\approx \alpha \\ \\ \tan(\beta) &\approx \beta \\ \\ \tan(\phi) &\approx \phi \end{array}

Deinde, ex hoc et lege Snell habetur:

\begin{array}{rl} {(7)} & n_a \theta_a \approx n_b \theta_b \\ \\ \equiv & \theta_b \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b} \theta_a \end{array}

Nunc, ex (7), (1) et (2) habetur

\begin{array}{rl} {(8)} & \phi - \beta \approx \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ \equiv & \phi \approx \beta + \displaystyle \frac{n_a}{n_b}(\alpha + \phi) \\ \\ {}\equiv & n_b\phi \approx n_b\beta + n_a \alpha + n_a\phi \\ \\ \equiv & \color{blue}{n_a \alpha + n_b\beta \approx (n_b - n_a) \phi } \end{array}

Denique, ex (8), approximationibus et aequationibus (3), (4) et (5), pervenitur ad:

\begin{array}{rl} {(9)} & \displaystyle n_a \left( \frac{\color{red}{h}}{S + \underbrace{\delta}_{\to 0}} \right) + n_b \left(\frac{\color{red}{h}}{S^\prime - \underbrace{\delta}_{\to 0} } \right) \approx (n_b - n_a) \left(\frac{\color{red}{h}}{R-\underbrace{\delta}_{\to 0}}\right) \\ \\ \equiv & \displaystyle \color{blue}{\frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \frac{n_b - n_a}{R} } \end{array}

Hoc ultimum appellamus Relationem Obiecti-Imaginis pro refractione in Interfaciebus Sphaericis.

Formatio imaginum extensarum per refractionem ad alteram partem interfaciis sphaericis

Nunc videamus quid fiat cum mutamus fontem lucis punctalem pro obiecto extenso. Hoc illustratur in sequenti figura:

Analysis superior iam indicat relationem inter S et S^\prime, nunc tantum restat invenire relationem inter magnitudines obiecti et imaginis.

Ex figura habemus:

\begin{array}{rl} \tan(\theta_a) & =\displaystyle \frac{y}{S} \\ \\ \tan(\theta_b) & =\displaystyle - \frac{y^\prime}{S^\prime} \end{array}

Hoc iungemus cum lege Snell

n_a\sin(\theta_a) = n_b\sin(\theta_b).

Et ad hoc nitimur in eo quod pro angulis parvis valet approximatio

\begin{array}{rl} \sin(\theta_a) & \approx \tan(\theta_a) \\ \\ \sin(\theta_b) & \approx \tan(\theta_b) \end{array}

Ita scribere possumus

\begin{array}{rl} &\displaystyle n_a \frac{y}{S} \approx- n_b \dfrac{y^\prime}{S^\prime} \\ \\ \equiv & \displaystyle \dfrac{y^\prime}{y} \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \\ \\ \end{array}

Nunc, reminiscendo quod de speculis sphaericis vidimus, habemus aliquid simile. Hoc loco possumus (iterum) definire factor magnificationis m per:

m=\displaystyle \frac{y^\prime}{y}

ita ut:

\displaystyle \color{blue}{m\approx -\frac{n_a S^\prime}{n_b S}}

Synthesis

Summatim, adhuc duo eventus excerpsimus qui nobis sinunt intellegere formationem imaginum cum lux ab obiecto emissa per interfaciem sphaericam transit. Hae sunt sequentes aequationes:

\begin{array}{rl} \displaystyle \dfrac{n_a}{S} + \dfrac{n_b}{S^\prime} & \approx \dfrac{n_b - n_a}{R} \\ \\ m & \displaystyle \approx - \dfrac{n_a S^\prime}{n_b S} \end{array}

His duabus aequationibus potes tam positionem imaginis quam orientationem et magnitudinem imaginis computare, et illae valent sive superficies interfaciei concava sive convexa est. Hoc autem loco necesse est de conventione signorum exponere.

Conventio signorum

His duabus aequationibus potes calculare tam positionem imaginis quam orientationem et magnitudinem imaginis, et illae valent sive superficies interfaciei concava sive convexa est. Hoc autem loco necesse est de conventione signorum exponere.

Interfacies spatium in duas regiones separat, unam ubi inveniri potest obiectum et alteram ubi imago reperitur. Ex hoc sequitur quod:

• Positio obiecti S: Positiva si in parte obiecti est, negativa si in parte imaginis est.
• Positio imaginis S^\prime et radius curvaturae R: Positiva si in parte imaginis est, negativa si in parte obiecti est.
• Magnitudo obiecti et imaginis, y et y^\prime: Positiva si supra axem opticam est, negativa si infra axem opticam est.

Interfacies planae ut casus limes sphaericarum

Omnia quae de interfaciebus sphaericis explicavimus valent etiam ad intellegendum melius interfacies planas. Revera, interfaciem planam possumus intellegere ut partem interfaciei sphaericae cum radio curvaturae maximo; etenim, si limites sumimus in relatione obiecti-imaginis pro interfaciebus sphaericis cum radius ad infinitum tendit, habemus:

\displaystyle \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime} = \lim_{R\to \infty} \frac{n_a}{S } + \frac{ n_b}{S^\prime } \approx \lim_{R\to \infty} \frac{n_b - n_a}{R} = 0

Et si ex hoc computamus factor magnificationis, obtinemus:

m=1

Id est, imago suam magnitudinem et orientationem servat, quod vero variatur est eius positio observata.

Exercitia

1. Coram virga vitrea cylindrica particula ponitur ut infra monstraturSi particula ad 30[cm] a virga posita est et eius extremitas est fere sphaerica cum radio R=1,5[cm], calcula positionem imaginis intra virgam generatae.
2. Consideremus eandem virgam ex exercitio priore, sed nunc sub aqua est. Si ante eam acus 1[cm] altitudinis ad eandem distantiam 30[cm], ponitur, calcula locum et altitudinem imaginis.
3. Homo in piscinam spectat ut eius profunditatem aestimet. Ut ducem utitur sagitta in fundo picta. Quae relatio inter profunditatem veram et apparentem exsistit?