Quid est Aequatio Differentialis Ordinaria (ADO)?

Summarium:
In hac lectione explorantur Aequationes Differentiales Ordinariae (ADO) ordinis k, incipiendo a definitione earum atque a repraesentatione forma normali et generali. Per conceptus sicut matrix Jacobiana et Theorema Functionis Implicitae, fundamenta ponuntur ad intellegendum solutiones harum aequationum atque proprietates associatas, ut dominium definitionis et solutiones explicitae ac implicitae.

PROPOSITA DISCENDI

In fine huius lectionis discipulus poterit:

1. Meminisse definitionem et notas fundamentales Aequationis Differentialis Ordinariae (ADO).
2. Explicare relationem inter ADO et solutiones eius posse haberi.

INDEX
Aequatio Differentiae Ordinaria (ADO) Ordinis k
Theorema Functionis Implicitae
Solutio Aequationis Differentialis Ordinariae
Cavendum de dominio definitionis solutionum
Solutio extensa et solutio maxima
Solutio explicita et solutio implicita

His quae hucusque visa sunt, satis clara idea nobis est quid sit aequatio differentialis et multiplices applicationes quas habere potest. Nunc consistemus ut aliquas definitiones et proprietates studeamus, proposito fundamentum commune firmum statuere ad hoc studium continuandum.

ADO Ordinis k

Aequatio Differentiae Ordinaria (ADO) est aequatio in qua implicantur variabilis independens x, functio y(x), et nonnullae eius derivatae ordinariae. Derivatae ordinariae primi ordinis y(x) notantur symbolis ut \frac{dy(x)}{dx} vel y'(x), secundi ordinis ut \frac{d^2y(x)}{dx^2} vel y''(x), et in genere, ordinis n, ut \frac{d^ny(x)}{dx^n} vel y^{(n)}(x). Supremum valorum k talium ut y^{(k)}(x) appareat in aequatione est quod vocamus Ordo Aequationis. Itaque, Forma Generalis ADO ordinis k est:

F\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k)}(x)\right)=0.

Dicitur ADO ordinis k esse in forma normali si exprimitur solvendo y^{(k)}(x) ex aequatione superiore, id est:

y^{(k)}(x) = f\left(x,y(x),y'(x), \cdots, y^{(k-1)}(x)\right).

In genere, functio y est functio \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^n, ita ut haec et omnes eius derivatae in aliquo puncto x\in\mathbb{R} evaluatae sint vectores in \mathbb{R}^n. Hoc considerato, constat quod, cum functio F quae describit ADO ordinis k habeat 1+(k+1) variabiles, habetur \text{Dom}(F)\subset \mathbb{R}^{1+n(k+1)} et \text{Rec}(F)\subset \mathbb{R}; et similiter, \text{Dom}(f) = \mathbb{R}^{1+nk} et \text{Rec}(f)\subset \mathbb{R}^n.

Transitus ab expressione Generali ADO ordinis k ad Formam Normalem fieri potest gratia Theorematis Functionis Implicitae.

Theorema Functionis Implicitae

Sit F functio classis \mathcal{C}^1 super coniunctum apertum U \subset \mathbb{R}^n cum valoribus realibus. Et sit (a_1,\cdots, a_n) \in U tale ut F(a_1,\cdots, a_n) = 0 et

\displaystyle \frac{\partial F(a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} \neq 0

Tunc exstat vicinitas V (a_1, \cdots, a_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1} et functio \varphi:V \longrightarrow \mathbb{R} talis ut:

1. V \times \varphi(V) \subset U
2. F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots, x_{n-1})
3. \varphi est differentiabilis et

   \displaystyle\dfrac{\partial \varphi (a_1,\cdots, a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_i} }{ \dfrac{\partial F (a_1,\cdots, a_n)}{\partial x_n} }

Demonstratio Theorematis Functionis Implicitae

Evolutio ex matrice Jacobiana

Sit \psi(x_1,\cdots,x_{n-1}, x_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1}, F(x_1,\cdots, x_n)). Si computamus eius matricem Jacobianam, quae infra monstratur:

\displaystyle \left( \dfrac{\partial \psi(x_1,\cdots, x_n)}{\partial(x_1,\cdots, x_n)} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & \vdots \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \displaystyle \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_1} & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial F(x_1, \cdots, x_n)}{\partial x_n} \end{array}\right),

videbimus eius determinantem esse diversum a nullo in (a_1,\cdots, a_n), prorsus quia, ut initio statutum est, \partial F(a_1,\cdots, a_n)/\partial x_n \neq 0. Ex hoc possumus dicere \psi habere inversam super coniunctum apertum W quod continet (a_1,\cdots, a_n).

Evolutio Solutionis

Nunc consideremus coniunctum

\tilde{V}=\psi(W)\ni \psi(a_1,\cdots,a_{n}) = (a_1,\cdots,a_{n-1},F(a_1,\cdots,a_{n}))=(a_1,\cdots,a_{n-1},0).

Ex hoc possumus definire aliud coniunctum

V=\{(x_1,\cdots,x_{n-1}) \;|\; (x_1,\cdots,x_{n-1},0)\in \tilde{V}\}\ni (a_1,\cdots,a_{n-1})

Coniunctum V est, proinde, apertum quod continet (a_1,\cdots,a_{n-1})\in\mathbb{R}^{n-1}.

Praeterea, cum \psi habeat inversam (in W), exstat unicum (y_1,\cdots,y_n)\in W tale ut \psi(y_1,\cdots,y_n) = (x_1,\cdots,x_{n-1},0). Hoc significat:

\begin{array}{rl} y_1 &= x_1 \\ \\ \vdots & \vdots \\ \\ y_{n-1} &= x_{n-1} \\ \\ F(x_1,\cdots,x_{n-1},y_n) &= 0 \end{array}

Ita possumus definire \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}) = y_n, ita ut:

\psi^{-1}(x_1,\cdots,x_{n-1},0) = (x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1}))

et

F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

Ex hoc habemus quod \varphi(V)\ni a_n, et proinde V\times\varphi(V) \subset U, et insuper:

F(x_1,\cdots,x_{n-1},x_n) = 0 \leftrightarrow x_n = \varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})

Differentiabilitas

Et denique, differentiabilitas \psi ducit ad differentiabilitatem \psi^{-1}, quae vicissim ducit ad differentiabilitatem \varphi super V. Hoc considerato, possumus definire functionem g per relationem:

g(x_1, \cdots,x_{n-1}) = F(x_1,\cdots,x_{n-1},\varphi(x_1,\cdots,x_{n-1})) = 0

Et postea, utens regula catenae, habetur:

\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x_i} = \frac{\partial F}{\partial x_i} + \frac{\partial F}{\partial x_n}\frac{\partial \varphi }{\partial x_i} = 0,

ubi i=1,\cdots, n-1. Ex hac ultima aequatione obtinetur:

\displaystyle \dfrac{\partial \varphi(a_1,\cdots,a_{n-1})}{\partial x_i} = - \dfrac{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_i}}{\dfrac{\partial F(a_1,\cdots,a_{n})}{\partial x_n}}

Et hoc cum sit, concluditur omnia quae demonstrari volebantur ■

Solutio aequationis differentialis ordinariae

Consideremus ADO expressam in forma normali

y^{(n)} = f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)(x)})

Tunc functio \varphi : I_\phi \longmapsto \mathbb{R}^n, ubi I_\phi est intervallum \mathbb{R}, dicitur esse solutio ADO si:

\left(\forall x \in I_\phi \right) \left(\varphi^{(n)}(x) = f(x,\varphi(x),\varphi^\prime(x),\cdots,\varphi^{(n-1)(x)}\right)

Cavendum de dominio definitionis solutionum

Hoc loco, necesse est emphasin ponere de momento declarandi expresse dominium solutionis aequationis differentialis. Exempli gratia, dominium functionis \phi de qua locuti sumus in praecedente paragrapho est intervallum I_\phi. Hoc est grave quia error communis in operando cum aequationibus differentialibus provenit ex eo quod duo solutiones \phi_1 et \phi_2 aequales putantur solum quia \left(\forall x \in I_{\phi_1}\cap I_{\phi_2}\right)\left(\phi_1(x) = \phi_2(x)\right), quamvis I_{\phi_1}\neq I_{\phi_2}. Ad explicandum hoc punctum, examinemus aequationem differentialem:

y^\prime = -y^2.

Una solutio possibilis huius ADO est functio \psi_1 : ]0,+\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}^+\setminus\{0\} definita per \psi_1(x)=1/x, quia \psi_1^{\prime} = -1/x^2 = -\psi_1^2 pro quolibet x\in]0,+\infty[. Sed aliquantulo ludo algebraico, transire possumus ex hac ad aliam solutionem omnino diversam nisi attendamus ad singula. Exempli gratia, manifestum est quod:

\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{1}{1 - (1-x)},

et latus dextrum huius aequalitatis est effectus seriei geometricae:

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n = \frac{1}{1 - (1-x)}

Ita oculus parum exercitatus in his artibus arcanis auderet putare functiones \psi_1
et \psi_2 = \sum_{n=0}^{+\infty} (1-x)^n nobis eandem solutionem praebere aequationi differentiali initio propositae, quia revera in resultatis conveniunt; attamen praeterierit quod haec series geometrica tantum valet cum |1-x| \lt 1, id est, cum x\in]0,2[). Sed est plus: cum ]0,2[\subset]0,+\infty[, etiam habetur quod \psi_1 extendit ad \psi_2 quia ibi ubi \psi_2 valet, \psi_1 valet atque etiam ultra.

Solutio extensa et solutio maxima

Consideremus duas functiones \phi_1 et \phi_2 definitas super intervalla I_{\phi_1} et I_{\phi_2}, respective, quae sunt solutiones aequationis differentialis. Si I_{\phi_1}\subset I_{\phi_2}, dicitur tunc solutionem \phi_2 extendere solutionem \phi_1, aut solutionem \phi_2 esse generalior quam solutio \phi_1. Solutio \phi appellatur “maxima” si nulla alia solutio exstat quae eam extendat non trivialiter.

Solutio explicita et solutio implicita

Functio quaedam \phi censetur solutio ADO ordinis n (scriptae in forma normali)

y^{(n)}(x)=f(x,y(x),y^\prime(x),\cdots,y^{(n-1)}(x)),

intra intervallum I si

(\forall x\in I)\left(\phi^{n}(x) = f(x,\phi(x),\phi^\prime(x),\cdots,\phi^{(n-1)}(x))\right)

Quod iam antea per aliquot paragraphos retractavimus est quod cognoscitur ut Solutio Explicita Aequationis Differentiae in intervallo I. Sicut nomen indicat, etiam exstat forma implicita ad definire solutiones. Dicitur relatio \Phi(x,y)=0 esse Solutio Implicita Aequationis Differentiae in I si definit duas vel plures solutiones implicitas in I.

Conclusio

In hac lectione notionem aequationis differentialis ordinariae rigida sed accessibili perspectiva decomponebamus, fundamenta formalia statuentes quae nobis permittunt non solum agnoscere ADO, sed etiam intelligere rationem quae post solutiones eius latet. Per Theorema Functionis Implicitae, possibile fuit clare iustificare transitionem inter formam generalem et formam normalem, quod vertitur in facultatem technicam crucialem ad tractandos problemas concretos.

Praeterea, distincte discrevimus varias rationes quibus solutio comprehendi potest: ut solutio explicita vel implicita, extensa vel maxima, atque notavimus momentum —saepe subestimatum— recte declarandi eius dominium. Hae distinctiones non sunt solum formales: sunt operativae. Negligere eas nos ducere potest, ut vidimus, ad errores graves conceptuales in interpretandis resultatis obtentis.