METAE DISCENDI:
Ad finem huius lectionis, discipulus poterit:

1. Meminisse definitionem litteralis atque formarum normalium coniunctivarum et disiunctivarum.
2. Agnotare structuras formulae in FNC et FND.
3. Adhibere FNC aut FND ad formulas logicae propositionis simplicandas.

INDEX
DEFINITIO LITTERALIS
DEFINITIO FORMARUM NORMALIUM
THEOREMA FORMARUM NORMALIUM

Propositio et utilis in logica propositionis ad formas normales spectat. Ut haec accurate explicemus, primum quaedam vocabula recognoscenda sunt.

Definitio Litteralis

Litteralis est quaelibet expressio atomica aut negatio expressionis atomicae. Ex hoc distinguimus litterales affirmativos vel negativos, prout exprimuntur sine vel cum negatione. Exempli gratia: A est litteralis affirmativa, et \neg A est litteralis negativa.

Definitio Formarum Normalium

Expressio F in forma normali coniunctiva (FNC) est, cum scribi potest ut coniunctio disiunctionum litteralium, id est:

\displaystyle F=\bigwedge_{i=1}^n \left( \bigvee_{j=1}^m L_{ij}\right)

Similiter, expressio est in forma normali disiunctiva (FND), si scribitur ut disiunctio coniunctionum litteralium

\displaystyle F=\bigvee_{i=1}^n \left(\bigwedge_{j=1}^m L_{ij}\right)

Theorema Formarum Normalium

Omnes formulae logicae propositionis aequivalent alicui formulae in FND atque alii in FNC.

DEMONSTRATIO:

Hoc demonstrari potest per inductionem super complexitate formularum F.

• Casus initialis: Si F est expressio atomica, tunc potest simul scribi tam in FNC quam in FND, quia: F\equiv F_D \equiv F_C, ubi F_C:=((F\vee F)\wedge (F\vee F)) et F_D:=((F\wedge F)\vee (F\wedge F))
• Gradus inductivus: Sint G et H duae formulae, quibus theorematis propositio iam valet; id est, exstant H_C et G_C in FNC, itemque H_D et G_D in FND tales ut

  G\equiv G_D \equiv G_D

  H\equiv H_D \equiv H_D

  Sic scribere possumus:

  \displaystyle G_D := \bigvee_{i=1}^n \bigwedge_{j=1}^m L_{ij}^{GD} ; \displaystyle G_C := \bigwedge_{i=1}^n \bigvee_{j=1}^m L_{ij}^{GC}

  \displaystyle H_D := \bigvee_{i=1}^n \bigwedge_{j=1}^m L_{ij}^{HD} ; \displaystyle H_C := \bigwedge_{i=1}^n \bigvee_{j=1}^m L_{ij}^{HC}

  Sine generalitatis iactura videre possumus, si F:= \neg G, tunc adhibendo theorema substitutionis una cum legibus generalizatis De Morgan habebitur:

  \displaystyle F:= \neg G \equiv \left\{ \begin{matrix} \neg G_D := \neg \bigvee_{i=1}^n \bigwedge_{j=1}^m L_{ij}^{GD} \equiv\bigwedge_{i=1}^n \neg \bigwedge_{j=1}^m L_{ij}^{GD} \equiv \bigwedge_{i=1}^n \bigvee_{j=1}^m \neg L_{ij}^{GD} \\ \\ \neg G_C := \neg \bigwedge_{i=1}^n \bigvee_{j=1}^m L_{ij}^{GC} \equiv \bigvee_{i=1}^n \neg \bigvee_{j=1}^m L_{ij}^{GC} \equiv \bigvee_{i=1}^n \bigwedge_{j=1}^m \neg L_{ij}^{GC} \end{matrix}\right.

  Ex altera parte, si F:=G\wedge H, habebitur per theorema substitutionis:

  \displaystyle F:=G\wedge H \equiv G_C \wedge H_C := \bigwedge_{i=1}^n \bigvee_{j=1}^m L_{ij}^{GC} \wedge \bigwedge_{i=1}^{n^\prime} \bigvee_{j=1}^{m^\prime} L_{ij}^{HC}

  quae est forma normalis coniunctiva. Similiter, si F:=H\vee G, tunc:

  \displaystyle F:=G\wedge H \equiv G_D \vee H_D := \bigvee_{i=1}^n \bigwedge_{j=1}^m L_{ij}^{GD} \vee \bigvee_{i=1}^{\overline{n}} \bigwedge_{j=1}^{\overline{m}} L_{ij}^{HD}

  id est, forma normalis disiunctiva.

  Ergo inductio completa est, et omnes expressiones logicae propositionis scribi possunt tam in FND quam in FNC.

Investigatio formarum normalium, scilicet coniunctivae (FNC) et disiunctivae (FND), in logica propositionis fundamentalis est ad simplificationem atque resolutionem problematum in mathematicis et informatica. Theorema quod statuit omnem expressionem logicam posse scribi et in FND et in FNC magni est momenti, quoniam permittit propositiones structurare modo tractabili et normato, quo earum analysis et tractatio facilius fiant. Huius resultati momentum consistit in eo quod firmam basim praebet ad consilium algorithmi, ad optimizationem expressionum logicarum, atque ad solvendum problemata efficaciter in variis scientiae campis, ut sunt intelligentia artificialis et verificatio programmatis. Praeterea, ars inductionis adhibita ad hoc theorema demonstrandum firmat intellectum proprietatum fundamentalium expressionum logicarum earumque usum in aliis contextibus mathematicis.