関数の最大値と最小値

関数における「最良」の点はどこにあるのでしょうか。到達したい最大値なのか，それとも避けるべき最小値なのか。この問いは，最適化，物理学，経済学，工学に現れ，微分積分学の主要な応用の一つです。ここで重要なのが，ワイエルシュトラスの定理です。この定理は， $f$ が連続で，閉区間かつ有界な区間上で考えるならば，絶対的な極値が存在することを保証します。そこから議論は実践的になります。すなわち，臨界点（ $f'(x)=0$ または存在しない点）を用いて 局所的極値を検出し，ロルの定理や平均値の定理といった道具を用いることで，「手探り」の探索を，明確で検証可能かつ効率的な方法へと変換するのです。

学習目標:

実行する： $[a,b]$ における絶対的極値を求める完全な手順。すなわち，区間内部の臨界点および区間端点において $f$ を評価し，値を比較して絶対最大値と絶対最小値を決定する。
対比する：必要条件と十分条件の違い。すなわち，「 $f'(x_0)=0$ 」が局所的極値を保証しないことを認識し，各場合においてどの追加的証拠（値の比較，符号解析，局所的挙動）が適切かを判断する。
決定する：問題の種類に応じて最も効率的な戦略。コンパクト区間における絶対的極値（ワイエルシュトラス＋有限回の評価）と，内部点における局所的極値（臨界点＋局所解析）を区別し，選択を正当化する。

内容索引:
最大値・最小値，絶対的極値と局所的極値
一次導関数の判定基準
 ロルの定理
微分の平均値の定理
増加区間と減少区間

ワイエルシュトラスの定理は，実数値関数が $\mathbb{R}$ の閉かつ有界な部分集合上で定義され，かつ連続であるならば，必ず最大値および最小値（絶対的極値）を取ることを保証します。関数の最大値・最小値を探すことは 最適化問題 と呼ばれ，ワイエルシュトラスの定理は，関数が連続で定義域がコンパクトである限り，絶対的極値という意味で解の存在を保証します。存在が保証された今，あとはそれらの解を見つけるための戦略を構築するだけです。

最大値と最小値，絶対的極値と局所的極値

最大値と最小値の探索に関する戦略を検討する前に，まず何を求めたいのかを明確に定義しておきましょう。

定義:
$D$ を定義域とする関数 $f$ を考える。 $x_0\in D$ において $f$ が 絶対最大値 を取るとは，次が成り立つことをいう。

$\left( \forall x \in D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

また， $x_0$ において 絶対最小値 を取るとは，次が成り立つことである。

$\left( \forall x \in D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

同様にして，局所的極値（定義域に相対的な概念）も定義される。

定義:
定義域 $D$ をもつ関数 $f$ と点 $x_0\in D$ を考える。 $f$ が $x_0$ において 局所最大値 を取るとは，次が成り立つことをいう。

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl(f(x) \leq f(x_0)\bigr)$

また， $x_0$ において 局所最小値 を取るとは，次が成り立つことである。

$(\exists h>0)\left( \forall x\in [x_0-h, x_0+h] \cap D \right)\bigl( f(x_0) \leq f(x)\bigr)$

これより，次の結果を述べることができる。

定理:

点 $x_0$ を考える。これはコンパクト区間 $I$ の内部点である。もし $f$ が $x_0$ において 局所的 な最大値または最小値を取り，かつ $f^\prime(x_0)$ が存在するならば， $f^\prime(x_0)=0$ が成り立つ。

証明:
$f$ が $x_0$ において局所最大値を取ると仮定する。このとき，ある $h_0 \gt 0$ が存在して， $|h|\lt h_0$ かつ $x_0+h\in I$ を満たすすべての $h$ に対して，次が成り立つ。

$f(x_0 + h)\leq f(x_0)$

これは次と同値である。

$f(x_0 + h) - f(x_0)\leq 0$

ここで，次の二つの場合を考える。

$h>0$ の場合：
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\leq 0$
$h\lt 0$ の場合：
$\displaystyle \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\geq 0$

もし $f^\prime(x_0)$ が存在するならば， $h\to 0$ のときの差商の極限が存在し，かつ両方の不等式と整合的でなければならない。このことから，次が必然的に従う。

$\displaystyle f^\prime(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}= 0$

以上で証明された。

この証明は，局所最小値の場合にも同様に成り立つことに注意すべきである。その場合は， $|h|$ が十分小さいときに $f(x_0+h)\ge f(x_0)$ から出発する。

一次導関数の判定基準

先ほど確認した結果は，次の含意として要約できる。

$\left\{\begin{matrix}f \text{ が}\\ \text{ }x_0\text{ において局所的極値を取る} \end{matrix}\right\} \Longrightarrow \left\{\begin{matrix} \displaystyle f^\prime(x_0) = 0 \\ \\ \vee \\ \\ x_0\text{ において導関数が存在しない} \end{matrix}\right\}$

この含意の逆は一般には成り立たないが，局所的極値の探索範囲を絞り込む上で非常に有用である。この考え方に基づいて，一次導関数の臨界点が定義される。

定義:
$x_0$ が 一次導関数の臨界点 であるとは， $f^\prime(x_0)=0$ であるか，または $f^\prime(x_0)$ が存在しないことをいう。

一次導関数の臨界点が重要であるのは，関数が極値（局所的または絶対的）を取るすべての点が，必ず臨界点の集合に含まれるからである。

$\left\{\begin{matrix}\text{絶対的に}\\ \text{極値を取る点}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{局所的に}\\ \text{極値を取る点}\end{matrix}\right\} \subseteq \left\{\begin{matrix}\text{一次導関数の}\\ \text{臨界点}\end{matrix}\right\}$

これが，内部点における局所的極値の存在に対する必要条件として理解される 一次導関数の判定基準 である。

ロルの定理

すでに見たように，一次導関数の臨界点を決定することは局所的極値の探索において重要である。そのため，どのような条件の下でそのような臨界点の存在が保証されるのかを検討することは自然である。この方向における重要な前進が，ロルの定理である。

定理:
$f$ を $[a,b]$ 上で定義され連続な関数とし， $]a,b[$ 上で微分可能であるとする。もし $f(a)=f(b)$ であれば， $c\in]a,b[$ が存在して $f^\prime(c)=0$ となる。

証明:
次の二つの場合を考える。

すべての $x\in]a,b[$ に対して $f(x)=f(a)=f(b)$ が成り立つ場合， $f$ は定数関数であり，したがって $f^\prime(x)=0$ がすべての $x\in]a,b[$ で成り立つ。特に， $c\in]a,b[$ が存在して $f^\prime(c)=0$ となる。
ある $x\in]a,b[$ が存在して $f(x)\neq f(a)=f(b)$ となる場合， $f$ は定数関数ではない。 $f$ は $[a,b]$ 上で連続であるから，ワイエルシュトラスの定理により $[a,b]$ 上で絶対最大値および絶対最小値を取る。
さらに， $f(a)=f(b)$ かつ $f$ が定数でないことから，これらの極値の少なくとも一つは内部区間 $]a,b[$ において達成される。
したがって， $c\in]a,b[$ を $f$ が局所的極値を取る内部点とすると， $f$ は $]a,b[$ 上で微分可能であるから，特に $f^\prime(c)$ が存在し，前の定理より $f^\prime(c)=0$ が従う。

微分における平均値の定理

先に確認した結果の直接的な帰結として，関数の研究に有用な情報を与えるもう一つの結果が，微分における平均値の定理である。

定理:
$f$ を $[a,b]$ 上で定義され連続な関数とし， $]a,b[$ 上で微分可能であるとする。このとき， $c\in]a,b[$ が存在して，次が成り立つ。

$f^\prime(c) =\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

証明:
次で定義される関数 $F$ を考える。

$F(x) = f(x) - \displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a)$

この関数は， $f$ がそのようであることから， $[a,b]$ 上で連続であり， $]a,b[$ 上で微分可能である。また， $F(a)=F(b)$ が成り立つため，ロルの定理を適用して， $c\in]a,b[$ が存在し， $F^\prime(c)=0$ となることが分かる。

次に， $F$ を微分すると，次を得る。

$F^\prime(x) = f^\prime(x) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

これを $c$ において評価し， $F^\prime(c)=0$ を用いると，

$0=F^\prime(c) = f^\prime(c) - \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

よって，

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(b) - f(a)}{b-a}$

となり，示すべきことが証明された。

増加区間と減少区間

定理:

もし $f$ が関数であり， $(\forall x\in ]a,b[)\left(0\lt f^\prime(x)\right)$ が成り立つならば， $f$ は $]a,b[$ において厳密に増加する。
もし $f$ が関数であり， $(\forall x\in ]a,b[)\left(f^\prime(x)\lt 0\right)$ が成り立つならば， $f$ は $]a,b[$ において厳密に減少する。

証明:
$x_1,x_2\in ]a,b[$ を $x_1 \lt x_2$ とする。 $f$ は $]a,b[$ 上で微分可能であるから，区間 $[x_1,x_2]\subset ]a,b[$ において $f$ に平均値の定理を適用できる。したがって，ある点 $c\in]x_1,x_2[$ が存在して，次が成り立つ。

$f^\prime(c) = \displaystyle\frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

ここから次が従う。

$f^\prime(c) \gt 0$ ならば， $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \gt 0$ である。
したがって， $f$ は増加関数である。
$f^\prime(c) \lt 0$ ならば， $f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)(x_2 - x_1) \lt 0$ である。
したがって， $f$ は減少関数である。

最大値と最小値を学ぶことは，単に「微分を計算する」ことではなく，曖昧な探索を，保証と明確な判定基準を備えた手続きへと変換する方法を身に付けることである。ワイエルシュトラスは，コンパクト区間において最適解の存在を信頼できる条件を示し，一方で一次導関数の判定基準，ロルの定理，および平均値の定理は，候補点を見つけ結論を正当化するための道筋を与える。すなわち，関数がどこで極値を取り得るのか，その条件がいつ必要条件にとどまるのか，そして $f'$ の符号がどのように増加と減少を明らかにするのかである。この一連の考え方を習得すれば，直感的にグラフを眺める段階から，検証可能な論証に基づいて最適化問題を解く段階へと進むことができる。それこそが，「ここが最良の点だと思う」と「なぜここでなければならないのかを知っている」との決定的な違いなのである。